本影片完整講稿我們這個單元是一元二次方程式根與係數的關係 我是吳汀菱老師 好這邊啦我們先講一個觀念 那因為呢在學校老師有說 我沒有什麼時間講得很清楚 這樣這個x平方加2x減3等於0 這一個方程式是一元二次方程式 如果我把它通通乘上2 那是不是還是同一個方程式呢 是的 它的根會完全都一樣啦 它只是大家都乘上2 所以它是同一個方程式 甚至我把它乘上負2 或者我乘上7倍 還有呢我因式分解之後再乘上7倍 這樣也是可以的喔 好我現在左邊所列出來的 這邊所有的方程式 它的根全部都是1和-3 那把這一元二次方程式每一項都同乘一個數 那這兩個方程式的解仍然相同 未來呢我們會用到這個觀念 那這邊再複習一下 我們學到一元二次方程式 我們已經學了三個方法可以求解對不對 可以因式分解、配方法跟公式解 那返回來 有時候我知道解要反回去求一元二次方程式要怎麼辦呢 根據剛才的想法 其實我只要求出這其中裡面的任何一個 我其實就是找到它對應到的方程式了 對不對 那這個方法我們要怎麼做呢 就是接下來我們要發展的東西 好那係數呢會不會有關係 係數有比例關係的話就可以了 首先我們就來探索一下 如果兩個根是2跟3 那它的方程式會怎麼樣呢 同學應該會想到就是x減2跟x減3等於0得來的對不對 那我們把它乘開 x平方減5x加6等於0 再換一組 如果兩個根是4跟7 所以它是x減4乘上x減7等於0 再把它展開 x平方減11加28等於0 接著再多一點 如果是負1跟負8我們會得到這個 負5跟2 我們會得到這個 同學來觀察一下 兩個根是2跟3 那這個呢2跟3怎麼變成5 這個怎麼會6 同學我們在乘開的時候就發現了 因為它是減2跟減3所以乘起來就是6嘛對不對 這兩個根乘起來是6 兩個根相加是五 這一組呢 兩個根相乘28 兩個根相加11 負1跟負8相加是負9 相乘是8 這個呢負5加2是負3 負5乘2是負10 同學有沒有發現當x平方係數是1的時候 我可以從方程式裡面 看出兩個根相加跟兩個數相乘喔對不對 這兩個解我們稱為兩根和兩根積 那可以發現這個x的係數就是兩根和在變號 這個常數項呢 就是兩根積 有沒有很神奇啊 接著我們來把剛才探索的結果呢 做一個嚴謹的證明 好先說明我們要證什麼 如果一元二次方程式ax平方加ba加c等於0 的兩根為阿法跟貝塔 那麼阿法加貝塔就是負的a分之b 而且呢阿法乘貝塔就是a分之c 好我們開始證明 好因為呢今天我的方程式兩個跟是阿法跟貝塔 那它一定是x減阿法乘上x減貝塔等於0得來的解 那我們可以把這個方程式乘開 乘開之後呢 會得到x平方減去阿法倍的x 再剪去貝塔倍的x 所以整理成減掉阿法加貝塔這麼多倍的x 最後常數項是負的阿法乘負的貝塔 它所以是加阿法貝塔等於0 好了這個式子是不是就是跟題目所給的ax平方加bx+ c等於0 它的係數就會成比例 係數成比例 它的解還會是同一組 那也就是說一比a就等於負的阿法加貝塔比嗶嗶也b 也等於呢 那個阿法貝塔比c 那這樣子想很麻煩 同學其實你只要把下面這個式子 通通除以a 那這樣子對照 就可以得到兩根相加是負的a分之b 兩根相乘就是a分之c 我們的證明呢就可以結束了 那我們把剛才的觀察寫成一個結論 如果今天的ax平方加bx加c等於0 我們把它通通除以a 結果得到x平方加a分之bx加a分之c等於0 那麼我的兩個根的和就是負的a分之b 兩個根的積就是a分之c 那寫成文字的話 就是如果一元二次方程式ax平方加bx加c的 兩根是阿法加貝塔 相加就會是負的a分之b 阿法乘貝塔就是a分之c 我們來應用這個結論 好看一下這個基測的98年第23題 一元二次方程式x平方加ax減16的兩個根都是整數 而且a是2位數 那要求這個a 好因為兩個根都是整數 所以我們很快的就會想到說我就是要 因式分解成兩個相乘 因為後面這裡是減16所以一定是一個正一個負 對不對 所以老師寫x減誰乘上ax加誰 因為中間的a是正數 所以你這個十字交乘的結果 相減跟相加是不是要正的這邊比較大 才會中間的x是正的 這個時候呢我們就把16來拆解一下 16可以拆解成1跟16 我把16放在大的正的這邊 那這時候乘開呢 行不行 還有2跟8對不對 還有4跟4那就沒有了 因為16的整數的因素就只有這三種情形 可以去拆開 那我們把它都乘開 x平方加15x減16 再來呢如果是這個狀況a就是15對不對 好那如果是這個 拆開x平方加6x減16等於0 那這個如果是它的話 那a就會是6 再來因為不合 它說a是2位數 所以這一組就不合 它最後一種x平方加0x減16更不可能了 所以最後的答案就是15 同學可以看出其實就是試試看 把你可能的條件拿來每一個試一下 就會出現正確的答案了 再來我們再看這個平方加2x減3這個一元二次方程式 它的兩個解互為倒數 我要求這兩個根的和是多少 同學會想兩根的兩個解是互為倒數 那是不是就是把它通通除以a 除以a得到x平方加a分之2x減a分之3等於0 根據我們剛才的結論 兩個根的和就會是負的a分之2 兩根積就是常數項負a分之3 那互為倒數是什麼呢 就是相乘等於一呀 才叫互為倒數 那我們就可以從負a分之3等於1的條件 得到a是負3 那再帶回去 所以兩根的和那就是負的 負三分之二這個正的三分之二 就得到這一題所要的答案 接下來再用配方法 樂樂用配方法去解出這個方程式 得到了x的解 它原來的方程式只有2是知道的 後面bx加c這是一次項跟常數項的係數是不知道的 那有這個解 同學如果你把這個解帶回去 然後把它乘開是不是非常的辛苦 因為這一串這個有根號又有分數 所以其實帶回去雖然是一種解法 但是沒有比較快啊 如果用我們剛才的方法可以怎麼做呢 第一個想法是這個我們把兩個根的積是二分之a 所以這兩個根相乘就可以得到a對不對 好我來試試看這個兩根是2分之3加2分之根號15 跟2分之3減2分之根號15 把它相乘兩倍就會是a 那這裡相乘的時候呢 因為是a加b乘a減b的公式對不對 所以是平方相減 可以很快的得到a就是負3 那我們再看還有沒有別的法子 有的 如果呢我今天是用配方的想法 我是配方得到這個答案 那我們把這個兩邊等號的兩邊都乘上2就沒有分數啦 對不對 那這個地方乘上2之後就等到2x減3等於正負根號15 那要怎麼回到上面的式子 我可以兩邊在平方 這樣子根號15是不就會被消去 當我把它兩邊平方的時候可以得到2x減3的平方等於15 這時候把它乘開得到是4x平方減12x加9等於15 再整理一下 4x平方減12x減6等於0 換句話說 我今天得到的這個方程式就是 這一個解它對應到的方程式 對不對 因為我是滿足這個式子去化解得來的一元二次方程式 這個方程式就會跟我原來的方程式係數間有比例 對不對 因為相同的解對應到的方程式 彼此之間就是倍數的關係 所以我們把這個式子除以2 所以你就會發現b是6 a就是負3 這個方法老師稱為反推法 就是你從解的形式把它移項再平方 就可以求得原來它所對應到的一元二次方程式 這個我們在高中會常常使用喔 最後 我們再看一下會考這一題 a倍的x減b的平方 它的兩根是這個 求a跟b是多少 有了剛才的經驗 同學我們是不是來反推把二分之一移過去 再兩邊平方 這個時候能變成x減2分之1的平方等於4分之7 那這時候能在通通乘上4 左邊乘上4 右邊就變成7 這時候對應到原來的式子 a就是4 b就是2分之1 我們這個單元到這邊結束