本影片完整講稿各位同學大家好 我們這個單元是二次函數圖形與軸的交點 我是吳汀菱老師 首先我們介紹一下這個章節的架構 第一個部分我們會先介紹 怎麼樣由給的函數來求出它跟x軸還有y軸的焦點 第二個就是直接判別函數跟x軸的交點 到底有幾個 最後呢 我們再來就是如果你給出x的焦點是誰的話 我可以反求我的函數嗎 好有這三個問題要討論 好我們先看例題一 求二次函數圖形跟x軸還有y軸的焦點 我們看一下它第一個所給的函數是x平方減2x減3 同學跟軸的焦點 然後它的特色就是它如果在x軸上 它的y座標就是零 如果你要這個交點是在y軸上 它的x就是0 就是掌握這個原則就好了 所以我們先來求跟x軸的焦點 那就是令y為0 令y為0的話 那x平方減2x減3等於零來求x 這樣是不是就是要求這個方程式的解 因此我們用十字交乘 發現了它可以寫成x加1乘上 x減3等於0 x是-1跟3 那因此這兩個交點就是(-1,0)跟(3,0) 那如果跟y軸的焦點 同學很聰明是不是x帶0就好啦 所以呢 我們把0帶到f(x)裡面去 就得到常數項-3 所以它跟我y軸的焦點就是(0,-3) 我們再來一題 老師也把這個圖畫出來 的確是交於這兩點 那y的話是(0,-3) 再來第二個是-4x平方加4x減1 那一樣的 我們要求跟x軸的焦點 就是令y為0 要來解這個方程式 那這個也是用十字交乘試試看喔 結果它是2x減1的平方等於0 同學發現它只有一個解 那表示呢交點就只有一個 是(2分之1, 0) 那跟y軸的交點一樣的我們把x等於0代入 的到y等於常數項-1 所以呢它是(0,-1)這個點 那我們看一下圖形有沒有錯 它只有一個交點 所以它這個交點剛好就是頂點的位置對不對 跟y軸交於(0,-1) 好再來第三個小題 x平方加6x加10 我們來做一下跟x軸的焦點 那就是讓y=0 y=0 x平方加6x加10等於0 結果呢我們用十字交乘是沒有辦法算出來的 因此那我們使用配方法 試試看 結果得到x加3的平方等於-1 同學平方的結果怎麼會等於-1 可見它是無解 那你也可以用另外一個方法 就是6平方減4乘一乘10 接進去哇小於0 它就是無解囉 無解的話表示它就沒有交點 因此呢 其實同學你不用配方 你如果算的判別式 判別式小於零就是沒有交點 今天再來求y軸 y軸就是x帶0 所以不管怎麼樣它跟y軸都是一定會交到的 就是常數項10 所以交點是(0,10) 好它這是它的圖形 果然沒有交點 好我們看一下 下列哪一個二次函數它的圖形跟x軸有兩個焦點 這裡呢 如果我們用十字交乘就是很慢 但是剛才說了 有沒有交點我們是看判別式 那如果用判別式來看的話 只要計算判別式小於0就是沒有相交 第二個呢b平方減4ac也小於0 所以也沒有相交 因為是無解 解不出那個x讓它跟x軸交到對不對 第三個b平方減4ac 結果大於0 大於10是不是就可以解出兩個x 好所以它是兩個交點沒有錯 那第四個4x平方加24 這個不用解了 同學有沒有注意到 它是y等於4x平方 整個圖形往上移24 那本來它的頂點在(0,0) 再更往上移就更不可能有交點了 所以它一看就知道是無解 這題的答案是C 這題也讓我們知道 它如果問有幾個交點 同學直接計算b平方減4ac比較快 再來可是呢 有的情況呢你又不要計算 因為來這個立體裡面 它已經每一個都幫我配好它的頂點的樣子了 是不是配方成功的 所以這個題目你不要再拆散 然後就b平方減4ac 其實只要直接畫圖就可以了 好你看第一個選項17倍的x加83的平方加2274 這個景點在負83跟2274的位置 因為數字很大 我們就畫個示意圖 它的開口是朝上 因為它17的係數是正 我們描出它的圖開口朝上 頂點又在第二象限 所以它跟x軸是交不到的 再來第二個選項它的開口也是向上 它的頂點是(83,2274) 所以描出來呢 這個位置也是沒有交點 第三個開口朝下了 它的頂點是在(83,-2274) 83負2274 所以畫出來在這個位置啊 也是沒有交到 最後一個呢開口朝下 但是頂點是(-83,2274) 那就是第二象限開口朝下 把它延長是不是就會交出兩個交點 所以答案是D 所以同學呢你要判斷什麼時候用判別式什麼時候用畫圖 這個情況就是它給的式子 好再來一題 已知某個二次函數的圖形跟x軸交於(-2,0)跟(3,0) 還有它跟y軸的交點是(0,6) 那你可以幫我把這個二次函數求出來嗎 同學這種反求的問題 你就來回想一下 剛才我們算出交點(-2,0)跟(3,0) 是不是得到x等於-2還有x等於3這樣子的結果 因為我們最後解到這樣子就會得到這個 對不對 這裡呢從ax平方加bx加c是不是有把那個a給約掉 所以才會得到這樣子的解 因此的我們可以設f(x)為a倍的x加2乘以x減3這樣子 你跟它等於0的時候 兩個根就會是它對不對 這個a怎麼得到呢 因為我們還有一個條件是跟y軸的交點是(0,6) 所以我可以把x=0代入 y就會得到6 我們把它代入 結果呢a乘上0加2乘上0減3 結果會得到6 a就是-1 那這時候呢 我們就求出原來這個二次函數就是負的x+2乘上x減3 那可以把它乘開 變成負x平方加x加6 由交點反求方程式 就可以用這樣子的方法 最後 已經知道座標平面上有兩個函數 是y等於a倍的x加1乘上x減7 還有呢 y等於b倍的x加1乘上x減15 這兩個圖形 其中ab都是整數 請你判斷把兩個函數呢 就是y等於b倍的x加1乘上x減15 圖形是怎麼移 會使得這兩個圖形的對稱軸會重疊 同學注意到今天它沒有強調ab的正負 就是其實不太考慮它的開口是上還是下 但是它希望你去判斷它的對稱軸 跟圖形的焦點呢我們來觀察一下 當你知道這兩個交點的時候呢 你的對稱軸是不是就是這兩個交點的終點 所以a的話 它的對稱軸就是-1跟7的終點是3 那b的話呢 它是-1跟15它的終點是7 所以我要把b這個移到上面 從x等於7移到x=3 要怎麼移呢 所以是往左平移4單位 這樣這個題目就解決了 之後呢我們做個小結論 第一個如果要求出函數a平方加bx加c等於f(x)它的圖形跟x軸的交點 那我就令y為0去解x 那就可以求出x的值 只有幾個解就可以知道有幾個交點 那如果要求出它跟x軸有幾個交點就好 不需要算出那個交點 那我們就用b平方減4ac來判別就可以 這個大於0的時候是交兩個點 等於0的時候只有一個交點 就是頂點 小於0的時候就不相交 我們這個單元就進行到這邊