本影片完整講稿各位同學大家好 我們這個單元是二次函數的意義 我是吳汀菱老師 之前我們介紹了一次函數 一次函數就是f(x)=ax+b a不等於0 這樣子的函數 它的圖形是一直線 我們今天要介紹的是二次函數 二次函數同學應該知道就是有平方項 所以它是f(x)等於ax平方+bx+c a不為0 這樣子的函數 那它的圖形是什麼呢 這是我們這個章節要介紹的囉 那首先老師先叮嚀一下 一元二次方程式跟二次函數最大的不同在哪 一次二次方程式我們說過方程式就是還有等號 函數的等號是對應的關係 就是不同的x帶到裡面去了就會對應到不同的y值 就是f(x) 所以呢 像這個一元二次方程式他就只有特定的解帶進去才會等於0 才會成立 因此碰到一元二次方程式就是求解 他的解帶進去就會合 函數就沒有解 函數是什麼 函數是不同的值帶入就會得到不同的對應值 所以呢因為會有很多很多不同的值 所以我們會來求一下他有沒有最大的或者是最小值 因此你就不需要求解了 因為他不是方程式 那個拋物線 這個二次函數的又被稱為拋物線 老師現在解釋一下這個名詞的由來 其實那就是伽利略他做的實驗 伽利略發現了二次函數是一個拋物線的圖形 他發現那個物體落下的時間跟重量沒有關 好但是呢 他落下的距離跟時間的平方成正比 也就是他得到y等於4.9t平方 他也觀察到物體到由不同的出處去往下丟 它的這個軌跡呢 都會是水平跟垂直方向組合成的方向 那老師舉一個例子 如果有一個物體呢 他的水平方向速度是4 鉛垂方向往上是3 那它的軌跡呢 就會是這樣子的圖 水平方向是4 因為水平方向沒有受到重力 所以它是等速的 v=4 我今天x所走的距離就會受到t的影響 所以x就是4t 一秒就是4t 那鉛垂方向呢就是受到重力 所以它是等加速運動 它的初速就是3 倒數的公式 剛才我們講到3 鉛垂直線等加速的公式在這邊 沒關係 這個理化會提供你 因為它的v0=3 所以我的y的座標呢就會是3乘上t 但是重力會往下 所以我們這個a要用負9.8帶入 那9.8的一半就是4.9 所以就得到這樣子的式子 所以x跟y都受到t的影響 今天如果我們想直接知道x跟y的關係 那是不是要把t消掉 所以我們就把t換成4分之x 然後帶到第二個式子去 就變成y等於3 這個t就是4分之x 然後後面這個t也是4分之x 那慢慢的化簡 就得到真的是一個二次函數的樣子囉 所以呢 二次函數它的軌跡就是一個拋物線 名稱的由來就是這樣 那我們從最簡單的圖形開始研究 如果只有單向的f(x)等於x平方的圖它的長相是什麼呢 我們都先帶一些點 因為它非常的簡單 0帶進去就是0 1帶進去1的平方是1 負1的平方也是1 2的平方是4 負2的平方也是4 所以我們把這些可愛的點都描上去 描上去之後呢 同學你應該學會了 不要慢慢的描點 我們可以用電腦軟體幫我們畫出來 那它的函數圖形就是這樣 就是一個拋物線的圖形 開口朝上 頂點是(0,0) 拋物線有一個特徵它有對稱軸 剛才在帶點的時候有沒有發現 1帶進去跟負1帶進去會一樣 因為它有平方 正的跟負的帶進去就會相等 我們稱為它對稱於y軸 接下來如果前面加個負號呢 同學可以發現 是不是比剛才的y通通都多了一個負 所以圖形是往下 所以前面有負號的話 開口就朝下 它是一個頂點(0,0) 開口朝下 對稱軸為y軸的拋物線 我們看一下基測這個題目 A跟B分別是y等於x平方上的兩個點 而且AB這一條線段垂值y軸 為什麼要特別講y軸 y軸是對稱軸 所以AB這樣就被y軸切成一半 好再來 AB的長度是6的話 問它的直線方程式是多少 同學再回想一下 AB直線是不是平行與x軸 平行x軸 所以它的方程式就會是y等於多少 只要找到A跟B它們的y座標 是不是就可以寫出AB方程式的大小的呢 那這裡那對稱軸是y軸 我們就把AB切成一半 因為AB是6 那這邊分到3 這邊是不是也分到3 所以B的x座標可以寫成3 那A的x座標是負3 所以老師就設A是(-3, y) B是(3,y) 再來一點 同學這也是我們之前沒有強調的 因為是函數圖形上的點 所以把我這個點的座標帶回函數裡面就可以和呢 那換句話說 我今天A是負3 把它帶到x去 那我對應到的y是不是就是它這個時候的y 所以我們就把它帶入 得到y等於x平方 就是3的平方 就是9 所以A跟B的y座標就是9 因此這條直線就是y=9 我們這個單元就介紹到這邊