本影片完整講稿各位同學大家好 我們這一段是是二次函數圖形的配方與極值 我是吳汀菱老師 首先我們知道前面我們已經探索過f(x)等於a倍的x減h的平方加k 這樣函數圖形的特徵 如果今天給我的函數的是像2x平方減6x加1 或者呢 負x平方加4x加3 這樣子的函數就沒有辦法直接 在他們的上面看到平移還有頂點對不對 所以我們都要把它配成像上面這樣子 因此這邊要介紹的是配方法 配好了 之後你就連頂點座標對稱軸還有最大最小值就通通都知道了 對不對 我們來開始 在這之前 我們先來複習一下之前的平方公式 這個配成平方的話有x加減多少的平方 所以我們今天會用到這樣子的公式 a加減b的平方就是a平方等於加減2ab加b平方 再注意一下 中間這一項就是a跟b乘起來再乘以2 所以呢我們今天如果是x平方減6x加多少要來配成平方式 就把6拆成2乘3乘x 所以框框就是3的平方 它可以寫成x減3的平方 再來一題 如果x平方加3x呢 因為它是2乘以2分之3乘以x 所以框框就是2分之3的平方 最後寫成2分之3的平方 在這裡還會用到一個小技巧就是補項減項 我們今天如果有把a加上一個b 好比我們剛才是加上了第三項 可是我們不能無緣無故的加上第三項 還要在後面把它補回來 這樣才會是我原來的a 你不能因為把配成了平方式就變成另外一個不相等的式子 這樣是不行的 所以還要注意補項的問題 那我們來試試看 像x平方減6x我今天補了3的平方 後面是不是要減回來 這樣才會跟原來一樣 所以它是x減3的平方再減3的平方才對 比如說 今天如果前面有2的倍數 2倍的x平方減6x 那我這個6x這裡因為加了3的平方 所以我後面扣了3的平方 這樣子對嗎 不對 前面多了一個兩倍啦 所以你乘過來是不是應該減它的兩倍才對 所以在這個缺項補項的時候 同學要注意它前面有沒有一個係數 我要怎麼樣去補才會跟原來的是一樣 這個寫出來的就是2倍的x減3的平方 扣掉兩倍的3的平方 如果前面是負2倍呢 一樣我們先看 我要湊出2分之3的平方 因為前面是減2 所以這邊要加兩倍回來 才會跟負2跟2把它消掉 所以整理出來就是負2倍的x減2分之3的平方 加回兩倍2分之3的平方 這裡是各位同學經常計算錯誤的地方 一定要慢 然後細心 好那我們就來練習幾題配方法 像這個是負x平方加4x加3 我們第一步就是先把前面兩項的係數提出負號來 因為我這邊x要變成1 所以提出a就是負1 那這裡負的x平方要注意喔 因為4x提出負號了 所以變成減4x 這時候我們再對著x平方減4x來配方 4x的4的一半就是2 所以我要加上2的平方 再扣掉2的平方回來 這時候我可以把前三項合併成平方式 減2的平方就負負得正 所以後面就變加2的平方 因此整個式子就是負的x減2的平方加7 它的圖形就是開口朝下 頂點在(2,7)的位子 y的最大值就是7 那配出配方的話 我就可以直接看出頂點還有最大最小值 再來下一題 2x平方加6x加1 前面可以提出2 我們把2提出來 2提出來之後剩下x平方加3 同學剛剛3是不是一半啊 所以我們要加2分之3的平方 加了之後記得扣回來 在把它從括號裡面提出 把它減兩倍的2分之3的平方 所以整個式子是兩倍的x加2分之3的平方減2分之7 頂點就是負2分之3 負2分之7 開口朝上的拋物線 好再來 負5x平方減3x加4 比較複雜因為有分數 我們把負5提出來 負5提出來注意負3x就變正的了 它是5分之3x 5分之3的一半是誰 是10分之3 所以我們補上了10分之3的平方 後面是不是就要扣回來5倍的10分之3的平方 所以我們慢慢計算 前面是5倍的x減10分之3的平方 後面這個4跟它化簡就得到20分之71 它的圖形是開口朝上 頂點在10分之3跟20分之71的位置 現在我們用符號來跟大家做個小叮嚀 我們今天配方法是把ax平方加bx這邊提出a之後 剩下x平方加a分之bx在裡面 那a分之b的一半就是2a分之b 所以我要補上2a分之b的平方 但是呢這邊是加上去 所以我要扣回a倍的2分之b的平方 最後呢 前面三項是不是可以湊成平方式 後面常數項是這裡 這裡小心 同學因為c跟這一項要通分 這個2a的平方是4a平 但是a平跟a又消掉一個a 所以分母是4a 分子就剩下b平了 所以後面這一項是減4a分之b平 那這個c呢如果我把它變4a 它是不是也要乘上4a 所以後面這個項數就是4a分之4ac減b平方 這樣就是最後呢 我們配方法的結果 這邊叮嚀一下同學 第一步就是前兩項提出a 把x平方的係數全部提出來 第二步呢你要配方的時候 就是加上中間的x係數的一半 再來不要忘記補項缺項 不要忘記前面有個a倍 然後是加還是減呢 要小心 這就是我們配方法要注意的地方喔 小心計算 最後再講一個例題 已知二次函數y等於3x平方加bx加c 在x等於2的時候 有最小值負5 同學在x等於2的時候有最小值負5這句話 雖然少少的字 但是它有大大的能量在裡面 它有最大最小值是不是有頂點的位子 所以x等於2的時候有最小值負5表示我的頂點是(2,-5) 再來這個小是什麼意思 最小值發生 它開口朝上才會有最小值 如果開口朝下就是最大值 所以有這兩個條件在裡面 這時候有頂點啦 我們是不是可以來設一下y等於3x平方加bx加c 它就會是3倍的 因為前面提出了3的倍數 所以這個3就可以放到最前面 它的頂點是(2,-5) 所以就是x減2的平方後面再加上負5 這樣是不是就是我的二次函數的方程式 那我們把它展開 乘開之後整理就可以得到 b是負12 c是7 那這一題就解決了 同學這個單元非常重要 因為到高中會一直使用 希望大家能小心計算熟練它的技巧 我們這個單元最後的小叮嚀 將二次函數配方後 可以繪製圖形 並得知圖形的頂點、函數的最大值或最小值 及其發生時的x值 二次函數的配方法是把一個式子配成平方 所以你要在後面調整加上或減去的項 一元二次方程式的配方法是一個等式的兩邊同時加或同時減 這是不同的兩件事 不要搞錯 我們這個單元就介紹到這邊