本影片完整講稿各位同學大家好 我們這個單元是解一元二次方程式用公式解的方法 我是吳汀菱老師 首先我們回顧一下 之前講到解一元二次方程式有兩個方法 一個就是十字交乘 一個就是配方法 我們稍微複習一下十字交乘 就是如果我們可以把x平方的係數分解 還有負3也可以常數項拆開 那這個時候交叉相乘3x減2x就是中間的x 所以可以寫成x加3乘2x減1等於0 這時候就可以解出來 如果x平方減2x減118 因為118很大 所以不太方便十字交乘 這時候我們可以把118移到右邊 然後利用配方法 那現在呢 我們如果有發現數字很醜 這兩個方法做起來都不太方便 或者是也有同學發現的配方法的方法非常一致 所以對於任意的數我們都可以來用配方法呢 好那我們就來探討一下 如果我今天把這個數字全部都用符號來代替 a倍的x平方加bx加c等於0 我們要進行配方法 是不是先把x平方前面的a除掉 所以通通除以a 好然後呢 再把這個c移到右手邊 變負c 因此整理成x平方加a分之bx等於負的a分之c 這時候下一步就是要來把左邊配成平方 配成平方的一個原則 對 就是x的係數把它一半 對不對啊 所以呢我們要加上的就是中間這一項係數的一半 a分之b的一半就是2a分之b 因為乘上二分之一了 分母變兩倍 那這邊加了這個的平方 右邊也同時要加上它的平方 右邊的我們再把它整理一下 這個負的a分之c加2a分之b平方 那2a分之b平方其實是4a平方分之b平方 那我們把它通分一下 後面這一項乘上4a 就會得到4a平分之b平方減4ac 左手邊就是x加2a分之b的平方 好這裡有一點複雜 同學呢老師講得很快 你可以放慢一點速度或多看幾遍 把它配成平方式的過程 就是這樣子 配的時候加上平方 右手邊這裡要通分 好接下去 我們要把這個平方式給拆開囉 好因為要減x 所以兩邊都開根號加正負 所以我得到x加2a分之b就是正負的這一串開根號 同學已經注意到了 分母是不是4a平方 4a平方開根號就是2a 不過呢因為這個a有可能正有可能負 所以我們平常開根號是會加絕對值 但是那現在因為前面有正負 所以呢 加了絕對值又加正負 其實已經把正的跟負的兩個狀況都考慮進去了 所以我們會把這個絕對值拿掉 好這個時候呢 你再把2a分之b移到右手邊 x就是負2a分之b加減2a分之根號b平方減4ac 分母都是2a 所以我們其實可以寫成一起 x等於2a分之負b加減根號b平方減4ac 相信各位同學都很會背 因為這個只有我們中文才有辦法 在十幾秒內內把這個公式講完耶 真是國粹 超厲害的 同學一定要學好喔 接下來我們來做幾個練習 第一個是x平方加x減1等於0 我們的公式是2a分之負b加減b平方減4ac 這時候呢 a是1 b是1 c是負1 我們帶入x就是2a 就是2乘以1 b呢變號就是負1加減b平方就是1的平方減4乘以1乘以負1 同學那我們要先乘除後加減 所以這個是1加4所以根號裡面是5 答案就是2分之負1加減根號5 所以帶公式還挺快的對不對 好再來我們第二個 這個a是2 b是負3 c是3 那我們來帶公式 2a就是2乘2 b是負3變號所以變正3 加減b平方 負3的平方跟3的平方一樣 所以我們就簡寫成3的平方 減4倍的a乘以c就是2乘以3 同學注意到 這種方式3的平方是9 但是4乘以2乘以3是24 這個減完之後根號裡是負15 負15的開根號就沒有辦法 我們沒有學過啊 所以它這個情況是無解 好同學可以注意到 如果根號裡面是負的是不是無解了 那我們來看第三個 9x平方減12x加4 如果我要帶公式的話 a是9 b是負12 c是4 所以x是2a 就是2乘以9 b變號就是12 加減12的平方減4倍的9乘以4 這裡4乘以9乘以4 四九36 36的4倍剛好是144 所以根號裡面成0了 那我的x就是18分之12加0跟18分之12減0 這兩個根是一樣的 其實同學如果能再多看一下 應該會發現 9x平方減12x 加4等於0 這個其實是我們的什麼 這個差平方的公式對不對 因為9x是3的平方 然後4是2的平方 那這個中間的12剛好是3x乘以2再乘以2 所以它是這個差的平方公式 所以3x減2平方等於0 那x就是3分之2 3分之2就是重根了 因為這個地方一樣 那是不是18分之12也就是這個根 好不管哪一個方法都得到相同的解 好這時候呢 我們可以稍微整理一下 剛才發現如果根號裡面大於0 它就會有兩個不同的根 如果等於0就會相同的兩根 如果小於0太棒了就無解 對不對 所以如果呢 它只有叫我們判定根是哪些狀況的話 我們只要計算b平方減4ac就好了 就不需要靠整個公式 那比如說像這樣子的例題 判別下列的根 它是兩個相異實根、重根還是無解 好那當然跟據我們剛才的提示 就是都用判別式就好啦 我們來試試看 第一個b是2 a是1 c是負3 所以我們帶入2的平方減4乘以1乘以負3 這是正的 好那事實上同學 a的係數是1 c是負3 這兩個a跟c乘起來一定是負的 減4ac就是正的 那b平方一定是正的啊 所以像這種狀況它就一定是正數 然後是兩相異實根 第二個的話呢 b的平方是2 a是3 c是1 2的平方只有4 但是4ac是12 所以是小於0 小於0是什麼 無解 好再來 這個a是4 b是負4 所以b平方是4的平方 4倍的4乘4加1 16減16是0 0的話是重根 這邊提醒同學一下 如果a跟c是異號的話 保證了ac是負的 那b平方已經是正的 減一個負數一定是恆正 所以這個情況一定是相異兩根 我們再看 小葵嗎她要求x平方加bx加c等於0的根 要使用公式解 但是它不小心把b平方減4ac算錯了 得到錯誤的兩個根是3跟5 那這樣能不能幫我推估一下 b到底正確的是多少呢 這裡我們看一下 因為它用公式解 所以我們應該可以知道這3跟5是用公式得來的 那加根號的是比較大的5 減根號是比較小的3 對不對 那這裡因為它說根號這兩個根號算錯了 所以它帶入的這兩個地方一定是錯誤的 那我們要怎麼把這個錯誤的拿掉 不要用來算呢 就把這兩個式子相加 那個錯誤的東西就不會影響到我的結果 所以我把兩式相加 兩式相加之後那就可以消掉這個根號 所以老師相加是2分之負b加2分之負b 所以我就得到負b等於5加3 所以b等於負8 這樣就得到答案了 這個章節我們就到這邊結束