本影片完整講稿各位同學大家好 我是吳汀菱老師 我們現在進入到代數的第三個大單元囉 它這個大單元裡面 我們要介紹的是一元二次方程式 還有解 它的三個方法有十字交乘、配方法跟公式解 最後呢我們再講一些它的應用問題 還有這是課外補充 根與係數的關係 好我們先來進行第一個單元 一元二次方程式 好在我們先介紹之前 看一下這個安排座位的問題 小明負責社團表演的場地佈置 他已經知道最多會有400個人參加 那這個場地是像這樣一個梯形 它想要第一排安排10個位置 第二排安排12個 每一排增加兩個位置以此類推 那請問它要排幾列才能容納400位呢 它算好它就不用一邊排一邊數對不對 好那我們來看一下 這個式子其實可以翻譯成這樣 10加12加14加到哪一項會是400 同學這個10 12 14其實是等差數列對不對 那第一項是10 最後一項如果是第n項或和k項 我們可以寫成10加上k減1的兩倍 就是少一個公差 因為有k項 只有k減一個距離 那我們就把它寫成這樣 那這是一個等差數列囉 所以它的公式是上底加下底乘以高 因為全部有k項再除以2 像這樣子的一個式子 它有一個未知數 而且呢k跟k可以乘起來會是平方 最高次數為2次 這種式子我們就稱為一元二次方程式 好那像這個2x平方減3x加5就是 還有呢x乘減1等於9 這個也是 因為x乘x是x平方 好那這樣這樣子也可以寫成y y這個左邊展開是不是有y平方 好 像剛才這個式子也是 這些通通都是 一個未知數 那未知數最高次數是2 還有等號 接下來我們就看到它的解是什麼呢 好像這一題是基測題 x等於2是下列哪些方程式的解 我們當然囉 是解的話代進去就會合 等號就要成立 好我們一個一個來代 第一個2代入的確是0沒有錯 再來代入2乘2的平方減3乘2 有沒有等於2呢 也是 好接著這個 2減2乘上2加2等於0也沒錯吧 最後一個 所以前三個答案都是對 最後一個呢 我把2的平方減2加2 這就沒有0 這是等於2才對 對不對 好這個題目裡的同學沒有發現 第一個其實是一次方程式 2 3 4它是一元二次方程式 有一個未知數 x的次數有兩次 那它們都是只有特定的值才會滿足才會成立 那這樣子的值我們就成為它的解 接下去我們來探討 那要怎麼求出它的解呢 這裡我們有一些已經寫出來的式子 像x減1乘x減2等於0 我們來代代看 如果我代1 x代1 有沒有等於0 有 那代2 有沒有等於0 有 那代3 3就沒有了 3減2 3減2 就沒有了對不對 2分之1呢 也不行 同學因為這x跟x是同一個數值 我們都要代同一個數才可以 結果我們就發現 好如果我今天這裡是6 那我們開始代 4減1乘4減2 三二得六 4是合的 那這個5呢 五呢 5減1乘5減2 四三12就不合了 所以有的合有的不合 那這裡呢 我們看一下2減1乘8減2 這是一個錯誤的代法 因為x不能同時是2又同時是8 那所以我們就發現 如果是0的話就可以很快得到我的答案 但是如果是6我就不太容易觀察 要去試試看很多種不同可能 所以我們第一種先探討 它已經幫我整理好 兩個相乘是等於0的狀況 像左邊除了1跟2以外就不會有其它的解了 所以它有兩個解 接下來就是畫成兩個相乘等於0 就可以很快的看出解 同學我們來做個練習 像這個x減3乘上x加4 你認為解是多少 非常好 3跟負4 那如果是2x減1跟3x加2等於0 就是2x減1等於0 所以是2分之1 3x加2等於0 同學你這些移項要訓練的快一些喔 再來如果是x乘上4x減5呢 就是0跟4分之5 接著如果今天是x平方等於4 這樣子沒有辦法直接看 但是同學我們是說把化成相乘等於0 所以你要把4往左邊移 我們變成x平方減4等於0 這個時候換成一加一減 x減2 x加2 所以x是2或負2 再來 x平方等於於9分之4 同學應該可以依樣畫葫蘆吧 我們把9分之4移過來 所以它變成正負3分之2 再來x平方等於0呢 那就是0跟0 這兩個根是一樣的 這種情況我們稱為重根 所以一元二次方程式一定都會有兩個根 如果這兩根相等就成為重根 那如果是x平方等於負2呢 平方怎麼會是負的呢 這個就是無解了 同學我們來看這個題目 基測的14題 它說3分之x減1乘上x加2等於0的兩根是a、b 好請問呢哪一個是正確 好看樣子是不是要把兩個根解出來 同學我們看到它是相乘等於0 非常好 它幫我們整理好了 所以就是3x減1等於0 然後呢跟x加2等於0 那這裡算出來x就是3或負2 因為a要比b大 那a就是3 b就是負2 代到它的每個選項去 我們就知道的C是正確的 好再來一題求方程式的所有根 2X加5乘上x加1等於3x減2乘上x加1 同學你當然可以慢慢的全部都乘開 再全部整理 但是你沒有發現 這個式子有一個特別的地方 左邊跟右邊各有x加1 所以像這題目呢我們是不能兩邊消掉的 對不對 要把它移到同一邊 那這裡老師解式 5x等於3x 如果你把x消掉 5等於3是不是就不對了 就會矛盾 這是怎麼回事 因為你把x消掉了 x是0 因此這裡的x加1不可以消掉的 我們把它移到左邊來 變成2x加5乘上x加1 減去3x減2乘上x加1 這個時候可以提 公因式x減1出來 裡面剩下2x加5減掉3x減2 那把這個中括號裡面整理一下 得到負x加7 所以x加1等於0 跟負x加7等於0 你是不是就可以得到x是負1跟7 這樣就解出兩個根 如果你把它消掉 同學你就會少一個負1的根了 對不對 所以記得還有未知數 我們不能隨便約掉那一串 最後我們來叮嚀同學一下 像ax平方加bx加c等於0 a不等於0 這樣子的式子 我們稱為一元二次方程式 當x的值代入可以使等號成立的時候 就成為它的解 怎麼求這個解呢 我們的做法是 把右邊整理成0 左邊的式子變成兩串相乘等於0 就可以直接求出它的解 比如說2x減3乘上x加4 第一個等於0或第二個等於0才可能發生 所以x就是2分之3和負4 這個單元就到這邊結束