本影片完整講稿各位同學大家好 我們這個單元是多項式的乘法跟除法 我是吳汀菱老師 首先我們介紹多項式的乘法 多項式的乘法因為多項式有很多項 所以我們會用到的就是乘法分配率 那我們先看一下橫式 如果今天是這兩個多項式相乘 那就是x去乘後面的每一個x乘x平方有x3方 x乘負3x就得到負3x平方 x乘正1是加x 接下來x乘完了對不對 輪5 5呢乘上x平方就是加5x平方 5再乘上負3x得到減15x 那5再乘上1就是加5 所以這裡呢我們就全部乘完了 接下來動作就是整理 把同類項合併 我們就可以得到x3方加2x平方減14x加5 是不是很簡單呢 但是同學你要記得 有這樣子的順序才不會漏掉項數喔 好來我們學習一下直式 那多項式的乘法的如果是直式的話 我們先把x加5寫上去 再把x平方減3x加1 如果你有把x寫上的話呢 那你要對齊前面或對齊後面都是可以的 那我們課本的版本大部分就是對齊前面 所以老師就用這個寫法 那一樣的 你還是每一項去輪流乘 像這個我的x平方去乘上x跟加5就會得到 x3方加5x平方 接下來我們輪到負3x來乘這個x加5 所以得到-3x平方減15x 對不對 然後呢再輪到這個1來乘上x加5 那就會得到x加5 同學有沒有注意到我往後寫 因為呢我要對齊這個x的次數 這樣你最後再加總的時候 就可以很快 所以我們得到x3方加2x平方減14x加5 如果我用分離係數法的話 就把剛才的x通通都省略掉 變成1加5 1減3加1 那跟剛才一樣 我們是往後對齊就是1乘上1加5 就是1跟加5 負3來乘 所以負3減15 往後退一格 最後的1呢 1加5再往後推1格 這時候全部相加 同學因為那這一題老師並沒有陷阱 好沒有缺項 那如果今天你有缺項的話 因為這涉及到對齊的問題 所以缺項你要補零 你的次數才不會錯 所以其實我們如果項數不多的話 我們比較喜歡橫式的寫法 因為就不需要注意缺項補零的問題了 接下來老師利用這個應用題 來為大家介紹多項式的除法 然後這個圖裡面有一個長方體 它的寬是x 高是3x減1 其中x大於三分之一 這樣才能保證它的邊長是正的 那我已經知道它的體積是3x3方加8x平方減6x 請問它的長是多少 這裡我們看一下體積是長乘寬乘高 我已經知道體積了 我要求出它的長 又有寬又有高 就把它除掉就可以得到 沒錯 所以我們要做的計算就是 把這個體積3x3方加8x平方減6x除以x再除以3x減1 本來除法我們是可以把後面兩個乘起來再一起除 對不對 但是這一題呢 它所給的數據非常的美 同學你有沒有看到被除式 3x3方加8x平方減6x 每一個人都有x 那我們乾脆就先除以x就好啦 那先除以x之後呢 我的式子就只剩下3x平方加8x減6去除以3x減1就好 那除法了只能用直式 那我們把它巨細靡遺的寫下來 讓它被除的是3x平方加8x減3 那把3x減1除式放這邊 那就用每一項的頭來湊 像3x要怎麼乘成上誰會變成3x平方 就是x 所以這邊上x 這時候當你決定就是x的時候 就一起乘上x 擺在第一排 所以是3x平方減x 那這時候8x減負x 8x減負x喔 是減法 所以得到9x再把這個負3降下來 這時候下一個問題就是3x乘上誰 會是9x啊 就是3 所以商式的地方寫3 所以是9x 然後負1也要乘上3所以得到負3 果然能夠整除 表示我們沒有算錯啊 那因此得到這個商就是我長方體的長 也就是x加3 那就解決這個問題囉 好同學關於除法我們還有一個很重要的原理 叫除法原理 這個在高中非常的重要的 老師在這邊也先為同學介紹一下 除法原理當然是針對除法 除法被除式放在中間 除式呢放在旁邊 商式是上面 餘式是下面 那我們用數字來理解 等一下先看 這個國文有一個說法 就是題目裡的敘述 我們是說被除的是f(x) f(x)除以g(x) 就是這個樣子 或者因為f(x)被除的 然後g(x)只有除人家的 所以如果題目說 以g(x)除f(x)也是這個意思喔 這兩個都是一樣的不要搞混 接下來呢 我們用數字來理解 如果20除以6就會得到3餘2 那這個直式呢 我們能不能把它寫成橫式 就是20是由6乘3再加2得來的 對 所以我們這個除法原理的意思就是 把直式翻譯成橫式 中間這邊的被除式就變成 除式和商相乘的結果再加上餘式 因為呢你用這樣子的寫法就不用點點點了 對不對 你可以把被除式的大小完完全全的表達出來 所以它是一個很重要的式子 那我們來看一下會考的題目 多項式的負2x乘上3x減2的平方加3除以3x減2之後呢 得到的商跟餘加起來是多少 好那這本來呢 它給我的式子有點醜 我們應該把它全部乘開再來除就ok了 但是它題目又有一個陷阱 也不是個陷阱是一個暗示 3x減2 長得一樣 所以我們說不定不需要乘開喔 好老師如果用除法原理的方法來寫給大家 我們來看看 今天被除的呢 是負2x乘上3x減2的平方加3 那這裡如果我要寫成除法原理 就是除以3x減2 會有一個商再加一個餘式對不對 那我們前面就有3x減2啦 所以如果我把3x減2提出來 那那個式子是不是就是負2x乘上3x減2 然後呢最後這個加3就提不出來 所以加3要另外寫對不對 那這裡我們3x減2 整理一下商就是它乘上的這一串 餘就是3 因為除以一次 餘式沒有x的ok 表示有除好 所以呢商就可以直接得到 餘也就可以看見了 所以這一題並沒有真的要你通通乘開 如果用除法原理是不是可以很迅速呢 好再來 如果有一個多項式除以2x平方減3 得到的商是7x減4 餘式是負5x加4 請問這個多項式是多少 老師先把這個多項式用個符號 它除以2x平方減3 所以它是被除式 如果我們要翻譯成除法原理的式子呢 就是被除式等於除式乘商加餘 f(x)就是這個2x平方減3乘上7x減4 再加上我的餘式 同學我們是不是多項式乘法 然後再加法 這樣就可以得到我的f(x)了 好再來一題 如果4x平方加3x減16除以1個多項式 所以現在是前面這個4x平方加3x減16被除 所以我們就把它列出來 被除式等於除式乘商加餘式 這個4x平方加3x減16除以這個多項式f(x) 得到商就乘上商 餘就負6再加上去 所以我這個f(x)是不是可以直接拿4x平方加3x減16 來除以x加2就好了 除以x加2老師用分離係數法 這個1乘上4得到4 2乘上4得到8 兩式相減 3減8得到負5 那這負16下來 那1乘上負5就會負5了喔 所以2乘上負5這邊是10 再相減得到負6 是沒有錯 所以f(x)就是4x減5 同學有沒有發現除法原理真的很好用喔 對不對 好 最後我們叮嚀一下 如果使用直式將兩個多項式相乘相除的時候注意 缺項補零 那除法的時候要注意它的敘述 弄清楚被除式跟除式 然後呢用除法原理寫成一個式子 可以加快你的解題速度 多項式的除法餘式次數 必須小於除式的次數才算完成 好 我們今天介紹到這邊