本影片完整講稿各位同學大家好 這個單元是二元一次聯立方程組的加減消去法 我是吳汀菱老師 之前我們學過代入消去法 但是代入消去法有時候那不是很方便 比如說你看這個例子 2x加3y等於7 3x減4y等於19 這裡面如果我想把x或y任何一個換掉都不太方便 因為呢移項之後呢 會變成一個分式 如果我把它帶入第二個式子 會變成一個比較複雜的分式 當然你還是可以繼續做 可是呢因為分式容易計算錯誤 所以我們希望能夠有比較好的辦法 好那我們現在來進行第1個探索 如果今天的方程式是2x加3y等於7 跟4x減3y等於5 那這兩個數字都是兩個等式 像第一個式子有左邊跟右邊它們是相等的 第二個式子也是左邊跟右邊相等 那這兩個式子 如果我把它通通加起來會發生什麼事 就會在另外一個天秤上 同時放了左邊的兩個跟右邊的兩個 這樣它們是不是還是同時相等呢 對同學應該能夠理解 因為這樣子相等的話 所以這個兩個式子 我們是不是可以也可以類似這樣子的動作來對它進行 比如說這兩個式子合併之後 左邊的兩坨把它加起來 然後7跟5這兩個加起來 這樣子等式的兩邊還是相等的 因為呢它有3y 這裡有負3y 所以把它相加之後 正的3y跟負的3y會消去 所以這是一個還不錯的想法 因此我把等式的左邊都相加2x加3y加4x減3y 右邊就是7加5 這個時候3y消掉了 全部就只剩下x 所以6x等於12 x等於2 這時候我再把它帶回去 帶入第一個式子 變成4加3y等於7 這個時候我們可以得到y是1 就得到x等於2 y等於1這個解 再來 還有沒有別的想法 好比如說這個式子 3x加2y等於7 5x加2y等於1 這個時候2y跟2y是一樣的啊 如果加起來是消不掉 但是如果相同學很聰明 相減 是不是就可以了 等號的兩邊都相減是不是還是相等的兩個數 所以我們運用這樣子的觀念 把兩式相減 那兩式相減的時候 同學要注意 看你是哪一個式子寫哪一個式子 像我們習慣上是喜歡第一式減第二式 所以變成3x加2y減5x加2y 然後這邊是7減1 你兩邊的順序一定要一致 這樣你的答案才不會錯誤 那這個時候2y跟2y消掉了 3x減5x就是負2x 7減1是6 那我們就得到x是負3 這個答案 x是負3之後再反帶回去第一個 得到負9加2y等於7 這時候呢 y是8 得到正確答案 好這兩個方法一個是兩式相加一個是兩式相減 這就是加減消去法的精髓 我看這個係數的部分 兩個相同就把它減掉 兩個一正一負就相加 好再來第三個探索 如果今天的2x加3y等於7 3x減4y等於19 3跟2沒有一樣大 3跟負4也沒有一樣大 這時候直接相加或直接相減是不是都沒有辦法消除 那我們怎麼辦呢 好比如說我的目標是要消去y好了 那我這個y是3倍 這個y是負4倍 我可以想辦法把它調成一樣啊 比如說3跟4的最小公倍數是12 所以我把第一式乘以4 那3y乘以4 不能只有單獨 要整個式子都乘以4 所以我們整個式子變成8x加12y等於28 這樣還是同一個方程式 再來第二個式子 四三12 所以我們把它都乘以3 結果得到9x減12y等於57 這個時候得到新的兩個方程式 其實只是剛才的兩個方程式乘上一個倍數 它的解還是不變的 所以我們就繼續利用這兩個來解 它的解也跟原來的解是同一組解 好因此這時候就有12跟12是可以消去 把兩式相加 好相加之後 兩個就消掉剩下17x等於28加57是85 x就是5 x是5的話再帶回原式 好10加3y等於7 所以y是負1 x等於5這個解 老師把剛才我們三個探索做成一個加減消去法的流程圖 第一步呢 我們先排隊排好就是x跟x對齊 y跟y對齊 常數項跟常數項對齊 接著呢 我們先觀察x跟y的係數 絕對值有沒有一致 如果有一致像左邊 我們就可以決定來加或減了 如果沒有的話呢 我們就調整一下 看是要把x都調整最小公倍數 還是把y也都調整最小公倍數 要兩式各自去乘 如果調整好了之後 還是可以再回來看 一樣的話正負一樣 像一正一負就可以兩個相加把它消掉 那如果兩個都正或兩個都負就可以用減法 把它們消掉 那消掉之後就變成一個一元一次方程式 你就只要解這個未知數就可以了 這樣子最後再把它帶回去 就可以得到另外一個未知數 接下來我們來看這個基測題 好同學它是兩個分式 不要怕 我們還是把等號的兩邊都乘上分母 那第一式就變成2x減3y等於4 第二個式子變成15x加15y減5等於0 同學注意到它都有5 所以其實我們可以把它約分 約掉5之後變成新的式子 2x減3y等於24 3x加3y等於1 發現3y跟負3y是不是可以相消 所以我們把兩式相加 那就得到5x等於25 x就是5 再帶回去看是第一個式子還是第二個式子都可以 老師是帶到第二個 那x是5的話 就是15加3y等於1 所以y是3分之負14 再來一題 這個是8x加6y等於3 6x減4y等於5 它要問y 同時它又指定y 所以我們是要把誰消掉 是的我要x消掉 那8跟6是不是要把它調整成一樣 8跟6要怎麼調整成一樣呢 那我們看8跟6的倍數是24 所以八三24 第一式乘上3得到 24x加18y等於9 六四24 所以第二式乘以4得到24x減16y等於20 這時候呢兩式相減 相減之後 這裡同學也要注意 18y減負16y所以是34 負負得正 好這裡同學要慢一點細心一點 那9減20是負11 所以我們得到34y等於-11 所以答案是這個醜醜的34分之負11 好接下來我們最後一個重點就是 其實呢二元一次聯立方程組有時候會解不出來 有時候解會很多 是什麼狀況呢 好我們用這兩個例子來解釋 2x減1y等於3 4x減2y等於6 這個時候我們發現2412 如果我把第一式乘以2 結果就得到4x減2y等於6 那把這兩個式子再合併的列在一起 4x減2y就是等於6 就是2x減2y等於3 那下一個式子本來就是4x減2y等於6 既滿足4x減2y等於6 又滿足4x減2y等於6 那不就是無窮多個解嗎 所以呢所有的解是無窮多個 都是它的解 再來第二個 2x加y等於3 6x加3y等於5 這裡好像有3倍的關係 所以我把第一式乘以3 得到6x加3y等於9 這時候再把兩式合併 6x加3y既等於9 而且6x加3y又等於5 有沒有這樣子的事情會發生啊 不可能對不對 如果是固定的x跟y你加出來的值應該要同一個答案才是 所以不可能同時滿足這個條件 因此這個方程組是無解 最後呢我們有一個小叮嚀 當然我們同學用式子相加或相減的時候 那這個解去一個未知數的方法就是 我們剛才介紹的加減消去法 接下來這個方程組的解有三種情況 就是我們大部分會遇到只有一個解 再來呢係數有比例的時候是無限多組解或者是無解 這三種情形 好我們這個單元就到這邊