本影片完整講稿各位同學大家好 我們這個單元是二元一次聯立方程組的 解跟代入消去法 我是吳汀菱老師 首先我們來看這個問題 有一個機器人它在數線上移動 從原點出發總共移動7次 因為是數線上所以只有左右 好它每次不是向右兩單位就是向左移一單位 最後機器人落在數線上8的位置 請問它到底向右移動了幾次 向左移動了幾次 這也是有兩個未知數的問題 所以我們可以假設它向右移動了x次 再向左移動了y次 那因為向右是兩單位 向左是一單位 所以我們可以列出總共是7次移動 所以x加y是7 還有呢它在數線上移動的距離 因為向右就是加2x 向左就是一倍的y 好因為每一次二結果經過x次 所以是2x 那y是1 有y次所以是減 因為它是向左移數據變小 因此我們得到這兩個等式 那注意一下同學這個符號呢 就是聯立的符號 表示我要兩個同時都成立 所以它就是聯立就是且的意思 那這個組成的方程式我們就稱為二元一次聯立方程組 或二元一次聯立方程式 我們的目標就是它了 那它一定也會有它的解啊 還有要怎麼解它呢 好就是我們要探討的問題 那首先 同學想一想下列哪一個是這個方程組的解 這個解我們來一個一個看 x等於2 y等於4 我們代入第一個式子 x加y等於7就不等了 所以它這個式子就不滿足了 怎麼會是我的解 所以第一個選項就再見 第二個x等於3 y等於4我們代到第一個等於7沒有錯 代到第二個 2x減y就是6減4等於2 也不等於8 只有符合上一個 但是沒有符合下一個 這樣能不能同時成立 不行 所以二也不是我要的解 再來我們看第三個 5跟2加起來等於7 非常長 好再來2x就是10 10減2等於8 合了 所以只有第三個答案才是我們想要的解 同學要注意 聯立方程組的解跟之前的方程都不太一樣 它的兩個式子都滿足才是我要的解喔 接著我們再看問題2 問題2是已知一個梨子的價格是蘋果的兩倍 媽媽買了三個梨子跟兩個蘋果總共花了360元 請問蘋果一個多少元 這個問題中也是兩個未知數 所以我們可以設梨子的價格是x元 一個蘋果的價格是y元 那現在呢 梨子的價格是蘋果價格的兩倍 所以x就等於2y 對不對 好再來 媽媽媽花了360元 因為是三個梨子的錢 所以是3x 然後呢蘋果是2y 總共加起來是360 那這兩個式子我們是不是要同時成立 給它一個聯立的符號 我們要來解這個問題 如果我要求蘋果的話 就是要想辦法把這個y求出來對不對 好同學我們仔細看一下 這個二元一次聯立方程組 第一個式子x等於2y 它是什麼意思 x就是2y 2y就可以換成x x換成2y 兩個等號的兩邊是成立的 所以我們就想到了 可不可以把第二個式子裡面的3x加2y等於360 這個地方呢 我們把x換成什麼 2y 第一個式子x是2y 所以我們把它代入之後呢 全部是不是變成y了 因為3倍的y就是6y 6y加2y等於360 y就是多少 45元 那我的蘋果就算出來啦 同學解的時候呢是不是有一個技巧 我把它換掉把x都換成y 第二個式子就全部都是y 剩一個未知數我就很好解了 這樣子的觀念那我們就稱為代入消去法 把這個y代進去之後 x就被消掉剩下y 就很快的能夠解出來 我們再看一個題目來利用代入消去法解解看 好看一下這個y等於2x加1 3x減y等於4 y就可以換成2x加1 有沒有 對了所以我們把3x減y等於4 y的位子空下來 y就把它換成2x加1 同學注意到 因為y剛才是被減的 所以2x加1要一起被減 因此老師這邊加了括號 這樣等一下去括號才不會錯喔 好那我們把它化簡一下 3x減2x減1等於4 所以算出來x就是5 還沒有解完為什麼 因為還要得到y x多少y多少才是一組解啊 所以呢x等於5 我們在往回代y等於2x加1 那這時候x代5 得到兩倍的5加1就是11 因此x等於5 y等於11 就是這一個方程組的解 同學接著我們再看一下其它的聯立方程組 這個是4x加3y等於10 3x減y等於1 這一題就沒有像剛才x可以等於多少y 或者y等於多少x 沒關係 同學我們是不是可以把這3x減y等於1 把它移項呢 像y移到右邊 1移到左邊 是不是y就可以得到3x減1 這個時候呢我就可以把y換成3x減1了 但是換的時候注意 你不要再換回你原來這個啦 你要換就是上面這個你才會同時滿足兩個條件 所以我們把4x加3y等於10 裡面的y換掉 好所以呢 變成這樣子 一樣的 同學加括號等一下再乘開 好所以得到4x加33得9x再減3等於10 這個時候呢 13x等於13 所以x等於1 x等於1還沒完 對我們再代回剛才的y等於3x減1 所以y就等於2 所以x等於1 y等於2就是這一組方程組的解 我們再看這一題 4a減5b等於負2 2a等於3b 那這個地方同學雖然2a可以換3b 可是上面的式子是不是就沒有2a了 沒關係同學有沒有注意到 4A跟2A剛好差兩倍 對 所以我把2a等於3b 都兩倍變成4a等於6b 換句話說 4a就可以換成b 所以我們把4a換掉 換掉之後就得到b等於負2 再代回原式我就可以得到2a等於3乘上負2 因此是a是負3 所以這一題a等於負3 b等於負2 就是我的解 我們來回到剛才機器人的問題 我們所列出來的是向左跟向右 因此x加y等於7 2x減y1等於8 請同學自己用代入消去法來試試看 答案在前面的某一頁喔 好 我們這個章節就到這邊