本影片完整講稿(長版)從動手開啟思考的學習 摺紙中學數學─新北市林口國中李政憲老師 以往我的教學 用的是比較傳統式的 偶爾會搭配一些資訊融入教學 可是總會覺得學生 缺乏一些動手實作的課程 自己在五六年前 參加了一次摺紙研習 透過跟那場研習的講師做了一些互動以後 發現把一些摺紙課程用在學生身上 是能讓學生滿有收穫的 我曾經試著用摺紙教過乘法公式 教過勾股定理 也帶他們去 譬如說一些摺紙的拼貼 也有摺一些無理數 摺有理數 這些都是我在課堂上滿常用的 那還有最近才剛帶學生做過的是 譬如說怎麼樣摺出正多邊形 甚至是透過剪紙去完成不一樣的圖案 各位同學有沒有人可以回答我 印象中 或是你學過的無理數 什麼叫無理數 根號 好 所有的根號都是無理數嗎 沒有 譬如 無法平方 譬如 根號3 這個教案應該是分成三個部分 第一個部分就是我利用色紙要摺出根號n 我把這個點跟這個點摺起來 你手上有色紙 都已經幫你分成三等份 我摺完以後 我把這個摺痕連起來 請問同學藍色的摺痕是根號幾 根號2 對不對 那就是我們先透過色紙把它三等份以後 然後去討論說不同的根號 它摺出來的方式 他現在畫的這個動作要做什麼事情 做根號5的什麼線的什麼線 那叫什麼線 他畫的那條是什麼線 垂直線 垂直線是不是可以用摺的也可以 可以用畫的 可以用摺的 摺完以後再把它的什麼邊畫出來 斜邊畫出來 那就是什麼 根號6 這樣了解嗎 你會發現如果我要連結上面這些交點 交點 我能出現的那個根號n 那就是我們先通過色紙把它三等份以後 然後去討論說不同的根號 它摺出來的方式 我現在要問一個問題 剛剛這位同學 他在摺根號2到這個底邊的時候 他做了一件什麼事情 他是不是讓它對齊 這樣看懂嗎 有沒有同學可以告訴我 他摺讓它對齊這個動作其實 它就是在做這一個角度 這個什麼角度 這邊本來是不是有個等腰直角三角形 在摺這個等腰直角三角形的 這個角度的什麼線 角平分線 非常好 順便提醒你 我們的摺紙跟 你們學過的角平分線有沒有關係 跟尺規作圖有沒有關係 這都是有關係 所以透過根號2來畫出根號3的方式 有問題的請舉手 都會了嗎 只有這個方法嗎 來你要不要上來講一下 你的根號6的平方加1的平方怎麼做 我跟你講 這節課講的東西跟下節課程的東西非常有關係 所以你上來講或者是你確實聽懂 下節課你就可以很快地進入狀況 那你有沒有發現其實 我要摺這些根號 其實我只要有前面的那些根號 我後面的根號就比較容易出現了 來 一樣 請你給他鼓鼓掌 讓我們可以對學生在不管是無理數的構成 跟勾股定理的應用可以做一個結合 這是第一個教案的部分 我們在教摺紙的時候 常常會跟學生提醒說 其實尺規作圖跟摺紙 其實有一定的程度的關係 不管是用摺紙的方式 或是用尺規作圖的方式 只要能完成我們的目的 那他們可以彼此去比較 甚至去欣賞對方的解法 那其實就是我們希望他們透過摺紙 學習尺規作圖一個另類的做法 你會發現如果我要連結上面這些交點 交點 我能出現的那個根號n 如果我可以寫成a的平方加b的平方 看懂我在寫什麼嗎 這個a可以等於多少 最少是123 最大也是123 那組合起來的答案 就是當然有時候會有一些不懂 可是老師都會 我們只要有提問他都會回答我們 然後有時候帶我們提問的時候 他會再帶領我們去另一個思考的方式 就是另外一個思考的方向 這樣可以延伸很多 自己思考的方式 我覺得可能 會有更多可以思考的東西 數學就是這樣子啊 無限延伸 可以想很多事情 那第二個就是利用發票摺出根號n 利用一般我們日常生活中常見的發票 把它比喻成一條數線 這裡是45度可以嗎 右手邊這裡是135度 如果要摺出這個135度角平分線 好 來 開始囉 好 我用虛線稍微畫一下 這樣看出來了嗎 我讓這兩個角讓它是一樣的 這兩個打圈的角 讓它是一樣的 也就是我把剛剛這個斜邊根號2 摺到上面去 摺出剛剛剩下的那個135度的角平分線 摺完什麼 我摺完根號2了 這個角度跟這個角度叫作什麼角 內錯角 那這兩個角 因為是我摺的 這兩個角度是不是一樣 所以最後123 的三個角度都會 一樣 所以這裡就是什麼形狀 等腰三角形 所以如果這裡是根號3 這裡就是根號3 高是多少 所以斜邊就是根號 根號4 那依此類推 一直往後摺是摺得出來的 只是我到這邊我要請各位同學停一下 因為我們知道摺紙有一個最大的問題 什麼問題 很容易有誤差 我要先讓你抓準你的誤差有沒有差很多 如果你根號4已經摺出來的 你怎麼知道你有沒有 根號4有沒有摺錯 你們都知道根號4可以化簡 根號4化簡等於多少 2 所以如果我確定根號4等於2是不是就解決了 然後就是數線上我們會有原點 我們會有單位長 然後陸陸續續摺出根號2 根號3 根號4 它的優點就是在學生還沒有學習尺規作圖 甚至學過尺規作圖也沒有關係 就是這樣一個的課程 可以讓學生對於 就是無理數在數線上的存在性 是更加地肯定 而且就是他可以去比較說不同的無理數 它的距離越來越短的那種感覺 我覺得現在如果這樣子用的話 你會印象比較深刻 而且會覺得實際操作 你就會知道說這個是怎麼來的 就不會像以前空想 然後知道代公式 可是卻不知道它是怎麼來的 你就久了之後可能就會忘記 就覺得通常數學呢 都是格式化的 套公式就會得到你的答案 可是這次活動中不只有趣味 還可以讓你深入了解到數學 而且這是不只動腦 還可以動手 去實地操作 然後這是老師也是用PPT帶學 就覺得這次算不錯的數學體驗 學生在第二個課程學完 發票摺出根號n以後 我們會利用發票摺出根號n的概念 叫他拿這種長型的收據紙捲 然後裁一定的長度以後 透過第二個課程的概念 然後透過不斷的翻摺 那他就可以完成像第二個課程 就是一樣的結果 就是根號2 根號3 根號4 根號5 一直完成下去 最後如果學生毅力是夠的話 時間足夠的話他就可以完成更大的作品 像那邊的根號n螺線那樣 所以第三個課程通常我們設計是 第一個時間上是夠的或者是 第二個是給比較有興趣和程度比較好的學生 來做探討跟研究 程度沒有那麼好的學生 至少方法你會 相關的數學結構你沒有那麼清楚沒有關係 至少你會去欣賞數學 我會要求學生利用正方形紙張 然後透過一定的摺線 或者是教他們摺法 一邊摺的時候 一邊跟他們討論 如果說邊長是1的話 現在面積是多少 再摺出三分之一 現在面積是多少 一直摺 摺到完成這個作品以後 一方面他可以看到一個很漂亮作品的呈現 另外一方面他可以從裡面學到一些數學知識 大概是像一個螺線一樣 這個作品本身是一張正方形的紙張 我透過一些圖案的設計跟線的壓摺 它可以收納成一個風車的樣子 它裡面可以收納成一個光碟或是一些小零錢 再摺進去以後 它變成一個小的正方形 我會跟學生談 譬如說他的面積的比例關係 怎麼樣摺出三等份 這些模型的設計讓我覺得說 學生透過這些摺紙模型 他可以學到一些 他本來不是很清楚的數學概念 我想這是我設計這件模型的最大目的 像是回數票就是以 青銅比例1比根號3的方式來呈現的 就可以教我們說 用這些方式可以告訴我們 其實有很多東西已經應用在現在 不只是覺得數學沒什麼用 可是現在已經有應用了 不會說 啊 數學就是這樣子 因為我以前只是單純摺紙 只是覺得可以摺出很多東西 紙飛機 花之類 可是現在會覺得說 當中可能又會有什麼數學等著我去發現之類的 我想說我既然做了這麼多的教案 做了這麼多的教材 一方面是我需要有一些老師跟我討論 一方面是我希望做了這些教材 可以更多老師可以去使用 我們大概兩個禮拜會有一次聚會 每次聚會 會設定不同的主題 一個學期大概八次左右 我們會討論不同的教學方式 也會分享一些新的教案彼此做研究 政憲老師因為他在摺紙這一方面 其實他非常的有經驗 所以他大概在幾年前的時候 就有曾經問過我們 就是願不願意參加這一方面 因為我們學校老師 其實都還滿配合度滿高的 對 再加上政憲老師 他都很願意提供或分享 他在教學上的一些經驗 對 所以我們在大概兩三年前 就有這樣子的一個團隊產生 剛開始我是非常的抗拒(摺紙)的 因為我覺得 因為我個人非常討厭硬把數學 跟別的東西結合在一起 我就覺得很假 可是呢他就一直丟 丟到最後我就開始學 學到最後發現真的很好玩 政憲老師的這套課程也是 剛好就是對應勾股定理 我在班上實施以後我發現 其實這套課程學生的反應 其實還滿良好的 因為基本上它是可以操作的話 有沒有 學生會比較有興趣一點 因為他會發現因為這個東西 不管你是之前的經驗是好還是不好 你的數學能力到哪邊 其實都可以操作看看 教師分享當中 也可以知道說學生容易忘記 或是容易盲點的地方在哪邊 在教學的過程當中 可以藉由其他的老師分享 在真正教學實際上 能夠去注意一些細節的部分 讓學生可以更瞭解 有一個學生給我的回饋覺得 我覺得滿特別 他說 他覺得他最大的收穫 反而不是學到了什麼數學知識 而是他每一次完成摺紙課程之後 他桌上就會把一些摺紙的作品 就像這樣才陳列出來了以後 他覺得很有成就感 那我覺得摺紙課程對我而言 他看到桌上的那些作品的呈現 其實就像我看到學生反應給我的那些表現一樣 他們透過我們這個摺紙的活動 突然就對這個概念比較清楚了 或者是把本來不是很了解的數學知識 給弄懂了 我們就覺得這個就是我們 應該是為什麼要用摺紙作教學最大的目的吧 透過摺紙活動 讓學生在學習的過程 對數學有不一樣的體驗 -李政憲老師 在看完影片後 請老師依下面的問題來思考與討論 1. 在「摺出無理數」課程中，可以讓學生學到的數學知識有哪些? 2.「摺出無理數」的第一堂課程，要學生推導出來的結論為何? 3. 「摺出無理數」的第二堂課程，要證明所摺出來的三角形為等腰三角形，有哪些方式? 4. 在「摺出無理數」課程，有哪些可以讓有興趣或是程度較好的學生可以進行的活動? 5. 在「摺出無理數」課程，如何針對學習落後的學生調整上課的方式? 6. 摺紙會產生的誤差何時發生?要如何避免? 7. 可以在中學中應用摺紙實際教學的課程有哪些?如何進行?