本影片完整講稿各位同學大家好 我是賴政泓老師 那現在要為各位同學複習的是 平行四邊形與特殊四邊形 我們來看到這個複習的重點 第一個平行四邊形的定義性質與判別 複習的第二個重點是梯形、菱形及箏形及其性質 好首先我們來看到平行四邊形 那平行四邊形的定義是 兩雙對邊分別平行的四邊形 我們稱之為平行四邊形 如這個螢幕上AD會平行BC AB會平行CD 再來我們看平行四邊形的性質 第一個對邊會等長 也就是那個螢幕上所呈現的 AB線段會等於CD線段 AD線段的長度會等於BC線段的長度 第二個性質對角會相等 那也就是角A會等於角C 角B就會等於角D 再來第三個鄰角會互補 那這邊老師只列一個 就是角A加角B就會是180度 當然角A的鄰角還有一個是角D 所以角A加角D也會是180度 或者是角B加角C也是180度 或者是角C加角D也會是180度角 鄰角會互補 接下來如果今天把一條對角線比如說 BD把它連起來 我們會發現 我們就會把它切成兩個全等的三角形 我們就可以知道三角形ABD會全等於三角形CDB 接下來我們來看下一個性質 如果今天把兩條對角線把它連起來的話 我們會發現 這個平行四邊形會被切成四塊面積相等的三角形 也就是三角形AOB的面積會等於三角形BOC 也會等於三角形COD 也會等於三角形DOA的面積 最後一個這是很重要的性質 平行四邊形的兩條對角線會互相平分 這個請同學要特別的注意一下 接下來我們來看106年的國中教育會考的題目 如圖有個平行四邊形ABCD跟這個正方形CEFG 其中E點在AD線段上 它說若角ECD是35度 那角AEF是15度 那它現在要求角B的度數 那首先我們來看 題目跟我們講那個角AEF15度 角DCE是35度 求角B 我們發現在角B這個角的附近 那個相交狀況其實是很複雜的 那我們今天可能就是要利用 這個平行四邊形的對角會相等來算 比如說如果今天可以算出角D的這個度數 那等於角B 那就可以解決這個問題 那這個時候我們來看一下 這個我們看到三角形CED 它就會是180度減掉角AEF 然後再減掉這個正方形的一個直角 也就是角CEF 於是呢我們就是會等於 180度減15度再減90度就可以得到角CED是75度 角CED是75度 那我們就可以把角D算出來囉 在這個三角形內角和是180度 所以我們扣掉角CED再扣掉角ECD 也就是180減掉75度再減35度就得到70度 誠如剛剛老師所說的 角D今天算出來了 那又有平行四邊形的這個對角會相等 於是呢角B就會等於角D都會是70度 那接下來老師要為各位同學複習的是 這個平行四邊形的判別法 有哪些判別的方法 首先同學如果注意到 有一個四邊形它的兩雙對邊分別平行 當然它就是平行四邊形 或者是一雙對邊平行且等長 同學要注意喔 這邊是同一組對邊 同一雙對邊要平行而且等長 那它也是平行四邊形 或者是如果有一個四邊形它的兩組對角分別相等 它也是平行四邊形 又或者是什麼這個四邊形的兩雙對邊分別等長 兩雙對邊分別等長 它也會是平行四邊形 如果你發現有一個四邊形它的對角線會互相平分 那它也會是平行四邊形 以上就是我們用的判別 一個四邊形是否為平行四邊形的一些條件 只要找到其中一個就可以了 所以這邊老師就會問一個問題啊 它說如果有一個四邊形的一組對邊平行 但是另一組對邊等長 那這個四邊形是不是一定是平行四邊形 剛剛老師有特別提到 判別平行四邊形有一個條件 就是說一組對邊平行且等長 那這邊的題目是一組平行另一組等長 那是不是平行四邊形 首先在這個題目上呢 看起來好像是啊 你看這個AD線段平行BC線段 那藍色的AB線段等於CD線段 有符合題目的要求 一組對邊平行 另外一組等長 那它真的是平行四邊形 但是呢我們來看 接下來 我延長BC線段 那今天的老師以D為圓心 DC的線段長為半徑畫弧 交到另外一邊是E點 所以把DE連起來 那這個時候我們會發現 AB就會等於CD 也會等於ED 我們這個圖形喔 它就會符合一組對邊平行 AD平行BE 另外一組對邊等長 AB等於ED 但是今天它並不是平行四邊形喔 它是什麼 它是等腰梯形 所以呢在這個條件之下 我們會發現它不一定是平行四邊形喔 它可能會等腰梯形 所以這邊請同學要稍微注意一下 那談到等腰梯形之後呢 就來順便複習一下 梯形的定義啦 那再來我們梯形的定義裡面 我們是說只有一組對邊平行另一組對邊不平行的四邊形 我們稱之為梯形 好接下來我們要看梯形的性質和一些公式 那首先梯形的兩腰中點的連線段長 首先我們看到這個E點是這個AB腰的中點 那F是CD這個腰的中點 那EF的連線段長就會是二分之AD線段長加BC線段長 也就是上下底和的一半 再來我們看這個梯形的面積 我從A點做一個高 做一個高跟BC交於G點 我們看我們知道這個 梯形面積就是上底加下底乘高除二 由這個公式我們可以知道呢 二分之AD加BC等會等於兩腰的這個中點連線段長 也就是EF線段 所以我們把它換成EF線段 就可以得到梯形的另外一個面積的關係 就是EF線段長乘上梯形的高 AG線段長 我們來看一下101年的基測試題 它說如圖梯形ABCD中 角DAB等於角ABC都等於90度 E點在CD線段上 而且DE線段比EC線段是1比4 如果AB線段是5 BC線段是4 那AD線段是8 則四邊形ABCE的面積 也就是螢幕上綠色的這個四邊形的面積是多少 那首先來看到這個題目 我們今天梯形ABCD的面積呢 可以算得出來上底加下底乘高除2 8加4乘5除2等於30 在整個梯形的面積 接下來我們把這個AC線段連起來 連起來之後呢 我們會發現三角形ABC它面積是個直角三角形 所以就是4乘5除以2就是10 那接下來我們就可以得到這個三角形ACD的面積 那我們就是利用整個梯形的面積減掉藍色三角形的面積 就會是三角形ACD的面積 所以減出來結果是20 最後呢我們題目說啊 DE線段比BC線段是1比4 那所以我們就可以知道 螢幕上紅色就三角形ACE的面積 就佔了這個比較大的三角形ACD佔了5分之4 所以說這個三角形ACE的面積就是5分之4乘以20就是16 那最後呢 題目要我們算的這個四邊形ABCE的面積 就會是10加16就是26 就解決這個問題 接下來我們要複習的是菱形 菱形這個圖形 它的定義就是四邊等長 就叫做菱形 接下來我們看一下菱形的性質跟公式 首先這個菱形的對角線 各位同學要注意喔 對角線互相垂直且平分 它會垂直且平分 再來我們看到這個下一個這個條件性質 對角線它會把這個菱形分成4個全等的三角形 就是我們畫面上所看到的這四個 接下來呢 菱形的面積 這邊順道一提 有一個比較快速的算法 菱形的面積的就會是對角線的乘積除以2 那接下來呢 為各位同學介紹的是箏形 箏形的定義就是兩組鄰邊分別等長 這個箏形的對角線 我們來注意一下 第一個會互相垂直 但是只有其中一條對角線會被另外一條對角線所平分喔 這個同學要注意一下 接下來我們看這個箏形的這個性質與公式 AC線段它會平分角BAD 也會平分角BCD 那接下來我們的角ABC左邊的這個角ABC 也會等於右邊的角ADC 那一樣箏形的面積也會是對角線的乘積除2 最後我們看到100年的基測試題 它說下圖為菱形ABCD 菱形ABCD與三角形ABE的重疊情形 其中D在BE線段上 如果AB線段等於17 BD線段等於16 AE線段等於25 要求DE的長度 好那我們首先下來看到這邊 我們現在把AC線段連起來 那由於這個ABCD是菱形 所以對角線AC跟BD互相垂直 而且BD會被平分 所以BD的長度是16 所以一半就是8 那接下來呢 我們來看到這個AD的長度呢 因為是菱形的關係 所以它也會等於AB線段的長度17 於是我們從這個三角形AOD 直角三角形的由畢氏定理 我們就可以得到AO長度就是15 最後呢我們看到這個大的這個三角形AOE喔 因為它也是直角三角形 於是呢我們由畢式定理可以求得OE的線段長 根號斜邊25平方減15的平方就是20 最後我們要求的DE線段長 就是OE線段長減OD線段 也就是20減80等於12 也就解決這一道問題 以上是老師為各位同學複習的平行四邊形與特殊四邊形的這個單元 希望對各位同學有所幫助 謝謝