本影片完整講稿各位同學大家好 我是賴政泓老師 現在要為各位複習的是三角形的基本性質 那在這邊啊我們分4個部分 第一個部分是多邊形的內角與外角 再來是三角形的全等 還有三角形的邊角關係1跟2 好首先我們來看到多邊形的內角與外角 這裡的學習重點有 三角形的內角與外角 還有n邊形的內角和與外角和 那首先我們看到圖形上有三角形ABC 而我們知道三角形的內角和 也就是角A加角B加角C是180度 再來我們針對角B來看的時候 我們可以畫出角B的外角角1 那當然啊 我們也可以畫另外一個方向 角2也可以是角B的一個外角 所以呢我們知道其實角1會等於角2 我們知道角B呢跟角B的外角的和會是180度 那這邊有一個很重要的外角定理 就是角B的外角角1會是兩個內對角角A跟角C的和 這個是非常重要的外角定理 再來我們談到的是三角形的外角和 那這個螢幕上所示呢 我們就列出的一組三角形的外角 分別是角A的外角角1 角B的外角角2 角C的外角角3 而三角形的外角和誠如各位同學所熟知的 會是360度 好再來我們來看一下 下面這個題目 它說試證明啊 這個圖形裡面角BOC會等於角A加角B加角C 那在這邊呢同學應該會看到 這個圖形很像是一個飛鏢 那我們就暫時稱為飛鏢形的題目 那首先我們就連接AO線段並且延伸出來 那會得到四個角我們分別的定為角1角2角3角4 首先我們看到三角形ABO 那這個時候我們知道角3是這個角AOB的外角 所以由外角定理知道角3會是角1加繳角B 相同的我們看到右邊三角形AOC 角4會是角AOC的外角 所以由外角定理知道角4等於角2加角C 於是題目要我們說明的 角3加角4就會等於角1加角2再加角B再加角C 那我們就會得到這個角3加角4呢 就是角BOC 後面的角1加角2就是角A 那角B跟角C就照抄 得到題目要我們證明的 那這個是屬於飛鏢形題目 比較典型的一個現象 再來這一題它說如圖 角B是25度 角C30度 角D35度 角E40度 它說要求角A的度數 這個是一個五角星形的圖形 那我們怎麼去解這個題目呢 我們首先來看到解法一 今天的三角形CEF中 我看到角1是角F的外角 所以我們就知道外角定理角1等於角C加角E 那角C加角E呢由題目我們就知道是70度 再來我們看藍色的這個三角形BDG 那角2是角G的外角 一樣由外角定理 角2就等於角B加角D 由題目就可以知道加起來是60度 那最後我們看三角形AFG 上面這個小的三角形 那角A就會是三角形內角和180度減掉角1和角2 那角1和角2的和呢是130 所以一減的結果就得到角A是50度 那接下來我們再看其實還有另外一種解法 我現在我們先給定這個角2跟角2 如螢幕上所示 那我們知道它們是對頂角 所以角度會相等 那接下來我們看三角形 這個藍色的三角形 那這個時候呢我們來看角1就會等於180度減掉角B和角E 那角B和角E題目有講分別是25度跟40度 所以呢我們就可以算出這個角1度數是115度 接下來我們來看到現在我們產生了這個剛剛所看的題目 飛鏢形的這個狀況對不對 那我們就可以知道 由剛剛的結果角2會等於角A加角C再加角D 那如此一來 我們知道角1要等於角2 所以呢把角2用115度代進來 那角1再加角C30度再加角D35度 於示利用這個飛鏢形這個特性呢 我們就可以輕易算出角A就是50度 這是另外一種解法 接下來呢還有另外一種解法 我們看一下 怎麼解呢 我今天連結CD線段 那就產生角1跟角2 接下來怎麼辦呢 有沒有看到藍色跟這個橘色的三角形 是漏斗形的這個兩個三角形 那我們發現角1加角2就會等於角B加角E 因為它們有其中一個角是對頂角相等 於是角B加角E題目有講 算出來就是65度 那接下來呢 我們來看一下大的三角形ACD 那我們就可以知道角A就是 內角和180度減掉題目給我們的角C還有角D 還有我們剛剛另的角1跟角2 把兩個大的底角減掉就是角A 那我們把我們所知道資訊代進去 角C30度角E35度 角1加角2是65度 那也可以算出角A等於50度 以上同一個題目並不是太難 老師列了三種算法 是希望同學呢遇到題目可以勇於去嘗試 然後去思考 只要同學用的是正確的一個性質 都有機會把它解出來而不是死背 接下來我們來看一下98年的基測試題 它說圖為兩個正方形ABCD、EFGH 與正三角形IJK的位置圖 它說其中D、E、J三點分別在IJ線段、CD線段、EH線段上 它說如果角CEF是55度 求角IDA跟角KIH的角度的和是多少 我們看到這個角CEF是55度 那我今天為了方便起見 那我令角IDA是角1 角KIH是角2 再來我們來看怎麼去解這個題目呢 首先我們看到這三個圖形圍出了 一個中間的這個小三角形 再來我們把這個小三角形的邊沿同一個方向延長 我們會發現找到一組外角 而這組外角分別就是角IDE跟角CEJ跟角HJD 在這邊的可能比較複雜 同學要好好的先看一下 那這一組外角的和 那我們說外角和是360度 於是接下來 我們這個角IDE 我們分它成角1跟一個直角 因為它是正方形 那角CEJ把它分成55度跟另外一個直角90度 那角HJD把它分成角2跟另外一個正三角形的內角就是60度 於是經過整理 我們就可以知道角1加角2等於65度 就得到我們的答案 再來要跟各位同學複習的是 N邊形的內角和跟外角和 首先我們看到n邊形的內角和 它的公式是n減2括號乘上180度 這個是n邊形內角和的公式 再來n邊形的外角和 一樣跟三角形一樣 都是n邊形 所以是360度 那接下來順道一提 如果是正n邊形的每一個內角怎麼算 那當然由最基本的這個定義去看的話 就是內角和除以n個角 因為它每個角度的度數都一樣 所以內角和剛剛是n減2乘180度 然後除以總共n個角 那就得到上面的這個式子 那這個是一種算法 當然如果我們把上面的式子做一個整理 會得到下面 它會等於180度減掉n分之360度 那這個180度減掉n分之360度有另外一個看法 就是每一個內角跟每一個內角所對應的外角 它的和是180度 而因為正n邊形每個內角是相等的 所以每一個外角也會相等 那我們剛剛說 正n邊形的外角和是360度 所以每一個外角就會是n分之360度 那每一個外角是n分之360度 相對應正n邊形的每個內角就是由180度減掉每一個外角 n分之360度 就會得到這個正n邊形的每個內角 那兩個方式同學都可以去思考看看 接下來呢 這一題是它說如下圖 已知正五邊形跟正六邊形的一邊在同一條直線上 而且有一個頂點重合 那角1是多少 那在這邊呢當然啊 我們看到這個正n邊形 我們可以知道的是內角和 當然我們也可以算出每個內角是幾度 於是我們來看這一題 首先我們給一個角2 那因為正五邊形它的外角角2是其中一個 因為正五邊形總共有5個外角 就是說一組會有五個外角 每個外角它都一樣大 所以外角和360度除以5個就表示每一個外角都是72度 那角2就是72度 接下來角2會是正六邊形的其中一個外角 一樣的道理 角3就會是360度除以6 因為正六邊形有6個相同的外角 所以每一個外角就是60度 如此一來 我們就可以算出角1由三角形的內角180度去扣掉角2跟角3 最後得到答案是48度 我們看到105年的國中教育會考 它說右圖是一個七邊形ABCDEFG中 AB線段跟DE線段的延長線相交於O點 如果右圖中角1角2角3角4的外角的度數和是220度 黃色的這4個角的度數和是220度 要求角BOD 首先我們來看我們怎麼去思考這個問題 那在這邊呢 其實我們先延長BC這個邊 假設交下面這個OD線段於H 那這個時候 我們就會列出來五六七八這四個角 方便等一下我們計算 那這邊我們看到七邊形的外角和是360度 那今天呢外角和呢有角1234567 所以說編號1到7號是這個七邊形的一組外角 所以角1加到角7是360度 所以剩下的角5加角6加角7就是360度減掉角1角2角3角4的和 也就是減掉題目講的220度 等於140度 接下來我們看三角形CHD 下面這個小的三角形 那因為角8是角6加角7 為什麼是角6加角7呢 因為是外角定理 所以說很常用到這個定理 同學要熟記 那這個時候呢我們就會發現 代到上面黃色的這條式子 把角6跟角7換成角8就會得到角5加角8等於140度 所以最後角BOH就利用三角形BOH內角和180度 再扣掉角5和角8 那角5和角8和是140度 所以把它代進去就得到答案40度 以上是老師為各位複習的多邊形的內角與外角 那希望能同學能夠熟記 這個多邊形的內角和外角和 還有外角定理啊 希望對同學有所幫助 謝謝