本影片完整講稿各位同學大家好 我是賴政泓老師 現在要為各位複習的是 兩點間的距離 那我們複習的重點是 第一個兩點間的距離公式 第二兩點距離的相關問題 接下來我要為各位介紹的是水平距離 與鉛直距離 那在坐標平面上 我們看到會有三個點分別是 P點坐標是(a,b) Q點座標是(c,d) R點座標是(a,d) 那我們由這個座標我們可以判斷出 P跟Q兩點因為它們的y座標都等於b 所以P Q是位在同一條水平線上 所以這個時候P Q兩點間的距離就會是 x座標差的絕對值 當然同學如果知道 在同一條水平線上的兩個點 哪一點的x座標比較大 那我們就拿大的來減小的 當然我們也可以觀察到P Q這兩點 因為它們的x座標都是等於a 所以P R這兩點是位於同一條鉛直線上 那我們可以知道 兩個位於鉛直線上的點 那它們的距離就會是y座標的差的絕對值 也就是b減d的絕對值 當然如果同學知道 哪個點的y座標比較大 我們就拿大的來減小的 那以上這邊就是介紹 如果兩個點是位在同一條水平線上 或者是在同一條鉛直線上 它們之間的距離的算法 那接下來 如果今天兩個點 它可能不是在同一條水平線上 或者是在鉛直線上怎麼辦 比如說 這個螢幕上所呈現的 它是一條傾斜的直線段的關係 那這個時候呢 我們就做一條水平線鉛直線 誠如這個螢幕上所呈現的 那假設這兩條線 他的交點叫做R點 假設重點是我們要能夠知道 R點的坐標 那首先因為呢R點跟Q點 是位在同一條鉛直線上 所以R點跟Q點x坐標會相同 所以R點的x座標是c 那R點跟P點是位在同一條水平線上 那R點的y座標就會跟P點y座標相同 所以R點的y座標就b 這個地方我相信同學 應該是沒有問題才對 畢竟這個是很重要的 哪有了這個圖形之後呢 我們就可以由剛剛的PR的水平距離 就會是a減7的絕對值 那QR的鉛直距離 就會是b減d的絕對值 那我們再上一個單元 我們學到畢式定理 那我們就可以知道 PQ呢線段長就是斜邊 那斜邊之外就是根號兩股的平方和 那今天a減c絕對值的平方 跟與a減c括號的平方是一樣的 都是正的 b減d絕對值的平方是一樣的 於是我們就得到2點之間的距離公式 也就是PQ線段長就會是 根號兩點x座標差的平方加y座標差的平方 公式請同學務必要熟記 再來我們看一下演練 他說直角坐標平面上有ABCD四個點 那要求AD線段長 AB線段長 AC線段長 那首先來看一下 今天我們先求AD線段長 那A點座標是(1,4) D點的坐標是(-7,19) 這個時候 AD線段長透過剛剛兩點間的距離公式 他會等於開根號的座標差 也就是1減括號負7的平方 加y座標差4減19括號的平方 經過運算 我們就可以化簡 答案就是根號289 這個是公式的應用 接下來呢他要我們求的是AB線段長 哪一樣我們看到B點的座標是(6,4) 所以我們透過這個兩點間的距離公式 AB線段長就是根號1減6的平方 加上括號4減4的平方 經過運算 我們會知道答案就會是5 那算AB線段長呢 我們利用的是兩點間的距離公式 那如果眼尖的同學呢 他可能會先判斷出有一個特點 也就是今天A點B點的座標 他們的y座標是相同的 所以AB兩點是位於同一條水平線上 這個時候呢 他就很輕易的就可以算出A B之間的距離 就是x坐標差的絕對值 也就是6減1 也就是5 很快就可以算出來了 一樣的道理 如果有同學發現 c點的位子呢 他是位於a點的正下方 因為他們的x座標都等於1 那我們就可以知道 AC兩點是位於同一條鉛直線上 而鉛直線上的兩個點的距離呢 就會是y座標差的絕對值 也就是4減括號負3絕對值 就是7 當然同學也可以利用這個兩點間的距離公式 去求AC兩點之間的距離 都是可以的 我們再看下一題 他說家庭旅行當天 在國中路的某個地點A 小靜聽到導航說往前800公尺後右轉高中路 當車子右轉高中路 後導航又說往前直走1500公尺後左轉大學路 當車子左轉大學路後 導航又說往前直走1200公尺後即將抵達目的地B 那題目說 A點到B點的最短距離是多少 這個時候呢 當然他問的不是這個小靜啊 他們家的車子所走的距離 好不會是800 + 1500 + 1200不是 題目要問的是 最短距離也就是A點到B點的直線距離 今天我們來畫一個簡圖 今天題目說由A點往前走800公尺 再向右轉直走1500公尺 再向左轉直走1200公尺到達B點 那我們怎麼算AB之間的最短距離呢 現在我們要介紹一個方法 叫做建立座標系 建立座標系就是由同學選定一個點當原點 然後再搭配x軸跟y軸 今天老師決定的原點就是A點 所以A點的坐標是(0,0) 今天A點往上走800 往右走1500 會到達P點 所以P點的座標是(1500,800) 這邊注意的是P點x座標是1500 y座標是800 P點再往上直走1200公尺到達B點 B點的座標就會變成1500 然後2000 那現在題目說 要求的是AB之間的最短距離 其實就是螢幕上所示了這條藍色線段的長度 這個時候呢 因為A B兩點的坐標我們都知道了 所以我們今天就利用兩點間的距離公式來求AB線段長 於是呢 我們就可以知道AB線段長 就會是x座標差的平方 也就是1500減0的平方 加y座標差平方也就是2000減0的平方 開根號算出來 我們就可以算出來最短距離是2500 除此之外 除了建立座標系 還有沒有別的方法呢 好那我們就來看一下一題 看看還有沒有別的方法 他說一隻小龍阿虎兩人在同一個地點 那他說如果小龍向北直走160公尺 再向東直走80公尺 會到達神仙百貨 那他說阿虎向西直走多少公尺之後 他與神仙百貨的距離會是340公尺 所以示意圖呢 我希望同學也可以這樣子畫得出來 那現在就是要求螢幕上的x 阿虎向西走多少公尺 那在這個地方呢 我們來看一下 我的作法是這樣 我們來先在阿虎跟阿龍的出發點 向左先延伸一條水平線 然後呢再做一條鉛直線 從這個神仙百貨做一條鉛直線下來 兩條線呢會相交 這個時候因為一條是水平線一條是鉛直線 所以這邊會互相垂直 那我們要幹嘛呢 我們說這個螢幕上所看到 我們會看到一個矩形 上面是80 那下面的長度是80 那左邊的160 右邊也會是160 那這個時候呢 我們要算x 那怎麼辦呢 我們就把不必要的圖形 先把他給省略 我們看到一個直角三角形 那這個時候呢 我們就可以利用畢式定理囉 要怎麼用啊 我們知道畢式定理就是 兩股的平方和會等於斜邊的平方 所以就是x加80的平方加160平方會等於340的平方 這個時候經過移項 會得到x加80平方等於340平方減160的平方 同學這個時候不必急著把平方算出來 我們可以利用乘法公式 等號右邊A方減B方 就把它化成A加B乘A減B 這樣算可能比較快一點 然後呢會得到x加80的平方等於90000 那這個時候呢 同學切記喔 這個時候不要再把它整個展開來 我們可以知道 利用平方根的概念x加80等於300 或者是-300 那這個時候x就可以解出是220和-380 當然負的就不合 那就解出了答案就是220 這個是另外一種方法 那如果呢 同學想說那我們如果用這個設定座標系行不行 好當然是可以的 今天我們選定這個龍虎的出發點是原點 於是呢我們可以看到這個示意圖 這個時候呢A點的座標就會是(-a,0) 因為他是在y軸的左邊 那再來 B點的座標呢 就會是(80, 160) 那這個時候 的設定定這個座標系之後呢 A B兩點之間的 A B兩點的這個 這個座標都有了 所以他們的距離 我們就可以利用兩點之間的距離公式 於是340就會等於根號x座標差的平方 也就是80減括號負a的平方 加上160減0括號的平方 然後再來經過整理兩邊平方之後 會得到下面這個式子 那接下來的算法 就跟剛剛那一個算法大同小異 希望同學呢可以動手算算看 最後答案也會是220 以上是老師為各位同學介紹兩點間的距離公式 那當中也介紹了幾種 這個計算題目的方法 希望同學可以善加利用 謝謝各位