本影片完整講稿我們這個單元是一次函數(也就是線型函數)及圖形 我是吳汀菱老師 首先我們先介紹一下函數這個詞 函數它不是一個數 但是它是一種有限制的對應關係 好比如說 在商店中每一個每一種商品都有一個對應到的價格 那我們就說商品的價格之間有一個函數的對應關係 那同樣的班級中每一個同學都有一個座號 所以同學跟座號就有對應的關係 那我們就稱為函數 函數其實它不是一種數啦 那我比如說 我們在通常的我們會用函數的話就是有變數產生的時候 我們就會用到函數的這個對應來表達這個關係 那這個打折活動中的每一個商品都是打八折 就變成它的售價 所以定價打八折為售價 那所以你如果給我定價我把它打八折就會得到售價 這樣是不是就有一個對應的關係 所以呢我們就把這個式子寫出來 售價等於定價乘上0.8 那能不能用數學的符號來寫呢 用數學的符號我們會寫成F(x)等於0.8x x就是我們的定價乘上0.8之後呢 對應到的f(x) 我們可以再用一個符號y來表示 這個y就是我的售價 x就是我的定價可以寫成這樣子的式子 那今天你只要給我x就是這個訂價 我就可以得到對應到的售價 好這個是應變數 x我們叫自變數 接著函數還有一些表達的方式 比如說今天我的對應是負1, 1, 2, 它們跟4,0,1之間的對應 你可以畫兩個圈圈 把這些要對應的東西排列好 再用箭頭來表示 當然啦這三個的對應也可以寫成 這樣不過的右手邊這個就不是函數的對應 因為函數可不可以負1 一個人對到兩個答案 這樣子的對應喔 我們就不符合函數的要求 所以它不是一個函數 左邊這個才是我們要的函數 還有那我們也可以寫成表格的方式 這樣負1對到4 1對到0 2對到1 這樣就是一個合理的函數 好所以這邊這三個表達法就是右上角 這個是錯誤的函數表達 它不是函數 好再來 我也可以用座標的情形來表達 比如說像我們現在紅色的三個點也可以是一個函數 因為那我就這個1對到0 那這個呢2對到1 這個負1對到4 這是一二三四這是4 像這樣子我把1, 2 -1對到4跟0跟1 這樣子的對應法就是這個函數的另外一種表達法 那我們常見的也有同學在之前學到的直線方程式 直線方程式的每一個點是不是都有對應到一個x跟一個y 你只要給我x我就可以找到對應的y 或者呢你給我y就可以對應回來找一個對應的x 那這樣子的我們稱為y是x的函數 x也是y的函數 那這個藍色的線就是一個函數的圖形 如果是紅色的線行不行呢 紅色的線可以看到這裡 我x是0的時候呢我對應到的y是不是就有好多個點 我可以通過這個是(-3,0)(-3,1)(-3,2) 這個負3的這個x可以對應到好多好多不同的y 所以x跟y之間這個對應關係就不是我們要的函數的關係 它就不是一個函數的圖形了 所以呢x等於k 鉛垂線的圖形並不是函數的圖形 那老師要用一個例子來跟大家介紹一下 我們常見的函數關係 最常見的就是理化裡面學到的攝氏跟華氏 那攝氏就是我們台灣常用的溫度的單位 就是呢我在它冰點的時候是零度C 那在沸點的時候是100度C 那外國人常用的華氏呢 它們是把冰點就是我們製冰的點是32度的華氏 它的沸點是212度的華氏 那其實這兩個刻度都是表達到它從冰變成到水蒸氣 這裡所做的變化 這個溫度的變化其實它的量是一樣的 只是我畫的刻度不一樣大小 好像攝氏是割成100度 那華氏呢就是180度 因為212減30就180 所以呢兩段的比例是相同 因此我們可以用到這個觀念 當我的攝氏是x度的時候呢 華氏如果對應到f(x) 它們之間一定有一個關係 那同學一定很清楚 是不是就可以用比例的關係 因為這邊100格裡面它佔了x格 這邊180格裡面它佔了多少格 這個長度是不是應該跟這邊的x一樣的 我們就可以寫出一個比例式 好就是x這邊有x格 它是下面的全部有100格 那跟f(x)扣掉32這裡有這麼多格 相對於全部的180格 這兩個比例應該是相等 好那我們就把它化簡一下 所以得到180跟100 那這個可以約分 所以這個100跟180約成5和9 我們就可以畫簡出5分之9的x等於f(x)減32 再移項就是f(x)是5分之9的x加32 換句話說 你今天x是攝氏 我把它帶入這個函數的式子 我就可以得到f(x)就是我華氏的度數囉 那它們之間的轉換的道理就是這樣子來的 好再來我們再介紹一次函數 像f(x)是3x加1 g(x)是負x加2 這些函數呢它的x次數都是一次 最高次就是一次 那這一類的我們就稱為一次函數 它的特色就是它是一次多項式所形成的函數 那它的自變數x是一次 那如果我們針對f(x)來討論 當我今天x是2的時候 我們表達成f(2) 那這就是式子裡的帶2進去是不是就會得到一個7這樣子的值 所以2對應到的函數值叫做7 那負4就是把它x帶負4 所以會對應到負11 以此類推 我們每一個x有一個函數值來對應 它的表達法是這樣子 所以函數還有一個特色就是 它會隨著這個x的未知數不同而得到不同的對應的值 當然有的對應的值會相等 有的會不等 就要看你函數的定義是怎樣的 好那形如f(x)等於ax加b a不為0的話我們就稱為一次函數 再來我們再介紹一次函數的圖形又是什麼 像f(x)等於3x加1 剛才說了我可以帶不同的值得到不同的函數 那這時候呢 如果我把x對應到7 負2對應到7 負4對應到負11 100對應到301 2, 負4, 100這個是我的x 那對應到的這個7, 負11, 301 是不是可以用y來表示 這樣子的話呢 我這個這個式子的關係有沒有 跟我們之前的直線方程式y等於3x加1一樣的效果 就是我帶了x進去我就會得到3倍的x加1就是我對應到的y 那這樣子的話呢 x每增加1 函數值就會增加3 那還有a跟y軸就會交於因為x帶0的時候是不是就是y軸的焦點 那x帶0的時候y是1 這樣就可以得到跟y軸的焦點 好那這裡呢 我們再把(2, f(2)), f(2)就是y f(-4)也是我的y 如果我把這些點都描繪在圖形上 那它就是函數的圖形 這個函數裡面有多少個點 我就都可以把它描上去 所形成的圖形就是函數圖形 反過來說 如果我的函數圖形上有(2,6)這個點 那表示什麼 表示我的2帶到函數裡面所對應到的函數值就是6 同學要會兩個方向來對應 好我給我函數值x跟函數值就可以描點 返回來給我點就要翻譯成x值跟函數值 好我們來做一個題目試試看 這個在座標平面上函數f(x)的圖形 通過(-1,4)、(0,3)、(1,0)、(2,1)、(3,2)、(4,7)這些 這麼多個點 請問f(-1)跟f(2)加起來的值是多少 好這個時候同學會想到 它並沒有給我f(x)是誰 所以我沒辦法把負1帶進去求 2帶進去求 對不對 可是呢我們剛才講過 如果它通過(-1,4)這代表什麼 代表就是負1帶進去的函數值是4 所以前面這個f(-1)就是4啦 那f(2)是多少呢 好我們可以把剛才這幾個點描出來 像負1是4,1是0, 2是1 2是1的話是不是f(2)等於1 所以f(-1)是4 f(2)等於1 所以兩個加起來的值就是5 這樣就可以了 所以不需要複雜的計算 所以同學觀念清楚很重要 好再來我們介紹一個東西叫常數函數 所謂常數函數就是不管x是多少 我對應到的值都是不變的 像f(x)等於3只有常數項 f(2)就是3 f(-4)也是3 因為你x帶進去是沒有用的 那這些都是3 這種函數值是固定的就稱為常數函數 像g(x)就永遠都是負2 常數函數的話它對應到的y值都是完全一模一樣的啊 所以呢這個稱為常數函數 把一次函數跟常數函數一起合併 我們就稱為線型函數 因為我們把它的圖形畫出來它都是一條直線 好就稱為線性函數 那這裡的也為同學做個小整理 如果我的a是大於0 表示那你x增加的時候呢y會跟著增加 它的圖形是往右上的 那如果x是小於0的話 它x增加y會變小 所以它是圖形是往右下的 那a是0的時候表示它永遠都是定值 x不會影響到我的函數值 所以它的圖形是直線 這是常數函數 再來我們來看一下它可以怎麼應用 那同學應該也有學過虎克定律 虎克定律是彈簧的伸長量跟物重成正比 伸長量 老師這邊彈簧 它的原長本來是8 如果我下面掛一公斤的東西它就會伸長兩公分 再多掛一個1公斤是又會再伸長兩公分 所以你的伸長量是跟物重成正比 那這個k我們稱為彈力係數 那伸長量如果我們是兩倍 如果這是我的物重 那是不是就有兩倍 可是題目常常會問我總長 所以總長的話是不是要加上我的原長是8 所以這是伸長量的部分 這是總長的部分 我們總長是不是就可以寫成一次函數的形狀 那類似的題目就是像這個基測的題目 它說我現在把牛奶250毫升的玻璃杯放在已經歸零的磅秤上 也就是說我今天有一個玻璃杯 然後呢它的重量是500公克 就是玻璃杯加牛奶總共500 喝掉一些牛奶之後呢 這個x毫升表示裡面牛奶的體積 那y表示磅秤秤的 磅秤會秤到什麼 對 磅秤會秤到玻璃杯加牛奶 所以呢這個磅秤當然是越來越少 少到怎麼樣呢 找到會都變成0嗎 不會啊 因為牛奶喝光之後是不是還有玻璃的重量 是的 所以你的圖就必須是什麼 這個x是牛奶對不對 牛奶越來越多的時候它會越來越重 可是牛奶是0的時候呢 牛奶是0的時候它的重量還有玻璃杯 所以我們來注意一下 牛奶越多越重 所以是第一個圖跟第二個圖 其它都不對 那在牛奶沒有的時候呢 有玻璃重 所以是第一個圖才是正確的 所以它這時候呢就選出第一個答案了 好那最後給同學一個小叮嚀 線型函數包含了一次函數跟常數函數 它的圖形就是除了鉛錘的直線以外 都是這些直線都是函數圖形 那它呢 它的性質就會跟一次方程式2元一次方程式就完全都相同 比如說兩個點可以決定一直線 還有常數項b是跟y軸的交點的y座標 好這個單元我們就進行到這邊