本影片完整講稿我們這個單元是利用十字交乘來做因式分解 我是吳汀菱老師 好我們首先先暖身一下 我們來複習一下乘法的直式 把式子乘開(x+2)乘上(x+3) 我們會寫成這樣子的直式 然後呢這個3會乘上x 再3乘上2 所以得到3x+6 接下來輪到x x乘上x平方加2x我們得到x平方加5x加6 接下來如果是(x-2)(x-3) 也會有一樣的效果 3x-6然後呢 再來是x平方減2x相加的結果是x平方加x減6 最後一個2x加3乘上x加4 一樣的我們會拿4先乘 所以得到8x+12 再來x來乘 就會有2x平方加3x 好同學有沒有注意到 如果我們只考慮x中間這一項 第一個呢這邊是3x 這邊是2x 它是5x 這個x是怎麼來的 因為2乘上x就是2x x乘上3就是3x 所以這兩項加起來就會是中間的5x 那第二個一樣的 x乘上正3就是3x x乘上負2就是負2x 所以合併起來就剩下x 那這個地方交叉2x乘上4所以得到8x 再來x乘上3得到3x 相加是11x 我們就想了 可不可以有更快的方法 就不要這樣子直式慢慢的寫 能不能很快的得到答案呢 好我們做個研究 像這樣這個第三個選項 2x加3乘上x加4 啊是我們中間已經是二四得八 加上這個乘以3 所以8加3就是11x 前面的2x平方 中間是交叉相乘再相加 好老師這裡劃一個叉叉 有沒有發現這個叉叉就是連起來的乘起來 連起來再乘起來然後把它加起來就是中間這一項 所以我們稱為交叉相乘再相加 那這個前面的2x平方是怎麼來的呢 是不是2x乘上x 所以我們會發現 其實把前面的兩項乘起來就會得到2x平方 再來呢 對啊 常數項是不是就是常數項乘常數項 所以3乘4就得到12 所以我們就可以用這樣子的想法來很快的乘出來 好所以是2x加3乘上x加4 我們可以前面的頭乘頭就是第一項 尾乘尾就是最後一項 那中間這一項就是交叉相乘加起來 是不是得到我的x的係數 利用這個結果 我們現在要看能不能來反求 如果給我最後一個式子要反回來求 是哪兩個式子相乘那該怎麼辦呢 好那這個動作我們稱為因式分解 比如說我們現在想要分解x平方減4x減12 根據剛才的想法 前面的兩個頭乘起來是不是x平方 所以我拆成x乘x 那後面的減12呢 也是可以拆成4跟3 還有6跟2 甚至還可以12跟1 有很多種可能 而且呢它的負號也可以負是乘3 或者是4乘負3都有很多種可能 所以我們就來試試看 這個如果是負4跟3 再來是負12行不行呢 那我們就用湊的 像負4加3就變成-1 所以應該負1x 顯然它是錯誤的 再來如果負6跟2行不行呢 負6x加2x交叉相乘加起來是不就是中間的是4x 所以非常好我們就找到它的可以的解了 那這時候注意一下 同學如果你看這個負12後面是負的話 你在嘗試的時候就用一正一負 那一正一負就要再配合中間 中間這一項如果是負的時候 你配到負號的那個數字就讓它大一些 那就是去找相差得到4的 是不是就可以得到這個結果 所以最後的答案就是x減6乘上x加2 我們再試一題 像這個如果是2x平方減7x加3 2x拆成2x乘上3 3比較簡單 3可以是3跟1 它是正的 所以要不就是兩個都是負 要不呢就是兩個都是正 好但是因為中間因為是負7x 所以如果是正的話不可能答案是負的 所以我們一定是用負的 那這時候呢可以負3放在這邊 負1放在這邊 或者負1在這邊負3在這邊 那我們來試試看第一組行不行 第一組交叉相乘2x乘上負1是負2x 那這裡是負3x 負2在加負3是不是得到負5 這一組也失敗了 好那再來這一組 如果上下顛倒 2x乘上負3是負6 x乘上負1就是負1 負6加負1就是負7囉 是不是就成功啦 所以那我們就找到這一組叫2x減1乘上x減3 就是我們這邊寫出來的(2x-1)(x-3) 這樣子就完成了 這裡也提醒同學 老師解了正正跟負負是什麼意思 對如果這裡是正的 拆項的時候是正正或負負那到底用哪一個呢 就看你中間這個的符號 這樣就可以去湊出來 好如果你動作快一點或者有耐心一些 其實你很快就會找到答案了 我們來練習的題目看看 下列何者是8平方減10x加2的因式 同學這一題你也可以用除法慢慢的一個一個除 但是我們這邊來試試看十字交乘 可不可以用 好首先現在它的頭是8x平方 尾巴是加2 所以我們試試看 把8x拆成2x跟4x 那這個2可以拆成正2跟正1 那這顯然是不可能的 因為你這樣乘起來都是正的 有沒有可能得到中間是負10 不可能 那我們就試試看把正2改成負的 正1改成負的來試試看 這個時候呢 同學你會說老師你為什麼不把負1放上面 當然也是可以啊 我先試試看這一組 如果不成功我再換掉 好那這裡我乘上負1就負2x 4x乘上負2就負8x 負2加負8是不是剛好就是負10 所以我就湊成功了 因此8x平方減10x加2就是2x減2乘上4x減1 哪一個是它的因式 只要這兩個的式都可以對不對 4x減1剛好C就是答案 2x減2 A也是答案 再來這個會考的第24題 下列何者可是22x7次方減83x6次方加21x5次方的因式 那這裡我們就先把它給的式子來提供因式一下 因為可以很顯然的發現 每一項的x次數都很大 同學應該會知道要提出五次方 好最低是5次方 提出來之後剩下了一個22x平方減83加21 這樣的二次式這個可不可以再繼續分解 好用十字交乘試試看 首先前面是22 我們就拆成11跟2 試試看 11x跟2x左手邊這邊我們把2x跟11拆開 那這個後面的21拆成7跟3 因為我中間的83很大 所以我把7放在11的斜對角 這樣讓它數字可以大一些 那這時候發現了因為這個最右邊是正的 裡面是負的 所以這個是負7跟負3 那負77再減6剛好就是負83 所以這跳得比較快喔 它就是2x減7乘上11x減3 這時候再回頭來檢視我們的答案 有沒有2x加3 沒有 有沒有11x減7啊 沒有 所以A跟B都是錯的 那C對不對呢 C是可以提出四方沒有錯 有沒有11x減3 有喔 它好像是答案 我們來整理看看 這裡x乘上4次方乘2x減7乘上11x減3 所以把這個黃色的提出來 的確它是因式 所以C就是正確答案 D對不對 好 D不對 因為x6次方是不是超過我的五次 它不可能是因式 所以這一題就到這邊 好再來這個因式分解又是一個形狀比較不一樣的 這是6x平方減3x減掉兩倍的7x減5 同學可以看出前面雖然可以提出6跟3 x提出 但是提出來之後跟後面的7x減5並沒有共同的部分 所以這個題目應該是先去掉括號把它重新整理 再來因式分解 那我們就去括號 去括號再整理一下 我的到6x平方減3x減14x加10 那這個6x我們猜成2x跟3x 你也可以改成x跟6x 但我們就先試試看2跟3 那後面的正10那我們就拆成負5跟負2 因為中間的有減3跟減14 那這時候呢中間是減17 那2乘上負2是負4 3乘上負5是負15 所以好像不可行 讓我們再試一組 如果我把6放上去 6x跟x 那這裡六二十二 再減5這個有沒有等於負17 就有了 我們就成功了 對不對 所以它就可以變成6x減5乘上x減2 這樣的因式相乘 最後老師叮嚀一下 同學十字交乘就是用來因式分解像這樣有三項的多項式 好前面是平方 最後是常數項 中間是x的一次 那我們都用湊的 就是頭把它拆成誰跟誰相乘 尾巴呢也拆成誰跟誰相乘 然後中間像就是交叉相乘加起來 那來試試看有沒有符合 因為是湊湊看的啊 所以同學要有耐心而且小心計算喔 好我們這一節就介紹到這邊