本影片完整講稿各位同學 我們這個單元是因數與倍式 還有提公因式 我是吳丁寧老師 好我們回顧一下 之前有講過多項式乘法與除法 像f(x)如果等於g(x)乘上h(x) 我們對這個式子有沒有什麼說法呢 好先複習一下 在數字的時候 如果12等於3乘4 那這個12就是3跟4的倍數 反回來3跟4我們稱為12的因數 h(x)跟g(x) 我們這樣子的式子就稱為f(x)可以被g(x)整除 它也可以被h(x)整除 那這個時候呢 這個f(x)就稱為g(x)與h(x)的倍式 把數改成式 因為是多項式 那同樣的道理呢 這g(x)跟h(x)我們就稱為f(x)的因式 一樣的是把因數改為因式 這樣了解了嗎 好我們來做一個題目試試看 這個是基測考題 3x平方減x減10 它是3x加5乘上x減2 請問下列哪些敘述是正確的 好同學看一下 你覺得A對不對 3平方減x減10是x減2去跟3x加5乘起來的 所以它是對的 好第二個對不對 第二個x減2 應該是是的 它應該是因式 第三個呢 同樣的道理 3x加5應該是因式 第四個 3平方減x減10 乘出來的結果所以它應該是倍式 最後一個 最後一個怪怪的 怎麼會有2x減4 這個時候我們來探討一下 如果h(x)是f(x)的因式的話 我今天把它這個h(x)因式乘上a倍之後 也會是f(x)的因式 怎麼會這樣呢 來我們從例子裡來了解 像這個3x平方減x減10本來是3x加5乘上x減2 現在我把2x減4就是變成x減2的兩倍 兩倍之後呢 前面如果再成為2分之1 這樣是不是就跟原式是相同的 那個新的式子裡啊 裡面我們看到2x減4 就乘上了另外一個2分之1倍的 3x加5這個個多項式 所以是這兩個多項式的乘積 因此2x減4就也會是它的因式 所以只要a倍a不為零 它也是它的因式 所以E選項是對的 接著我們再來介紹因式分解這個這個詞 那在數字裡面喔 我們把它做質因數分解 就可以找到它的因數 這樣子二三五就是它的質因數 2的平方乘以3 還有3乘上5 依此類推 這些都是它的因數 多項式裡面有沒有類似的效果 如果12x平方減18 x 我們希望呢就是把它做因式分解的動作 這時候我們不稱質因數分解了 叫因式分解 那用因式分解來找出我的因式 那這個因式怎麼辦呢 因為要提出可以相乘的 所以同學就要從數字 還有符號裡去找出共同的倍數 像這個12跟負18 也可以提出6 那x平方跟x 至少有x1次方 所以我們可以提出6x出來 那這時候12x平方除以6x就剩下2x 那這個18x提出6x 剩下3 所以因式分解完之後 就是6x乘上2x減3 同學這樣子的動作稱為因式分解 可以理解了嗎 好我們再來 因式分解 剛才老師試的就是提公因式的方法 未來我們還會介紹利用乘法公式 還有十字交乘這些方法 來幫助我們因式分解 好我們來做一個題目看看 下列四個多項式哪一個是33x加7的倍式 好因為它的項數很少 只有兩項 所以就是剛才的提公因式的想法 提公因式就是從前面的數字還有符號來想 33跟49並沒有共同的數字 對不對 但是x平方減 也沒有共同的x可以提 所以A選項是沒有辦法提出公因式的 再來B選項33跟49 33的平方跟49也是不行 x平方更沒有 所以它一樣是沒有可提公因式 但是呢C選項呢 C選項雖然33跟7是沒有的 但是它有x可以提出來 所以我們提出x之後 得到x乘上33x加7 最後一個選項 同學也發現了 就是可以提出x 因此最後兩個可以因式分解成這個樣子 那今天希望它是33x加7的倍式 所以只有C選項是正確的答案 再來 如果我要把這個式子因式分解 好同學如果全部都乘開 全部都乘開相減之後再整理 這樣其實是比較費事的 也是可以做 但是呢你看到式子之後先不要衝動 我們應該先觀察 第一項有19x減31乘上13x減7 第二個呢 是13x減7乘上11x減23 對了聰明的你應該發現了 13x減7是共同的因式 所以我們把它提到前面來 提出來之後呢 前面那一項就剩下19x減31 那中間的減號 把它一樣的搬到這裡 這裡呢11x減23是整個一起被減 所以我們要加個括號放在這邊 這時候呢我們再去括號的時候注意 前面是減11x 後面負負得正 所以是加23 我們在同類項合併 19x減11x是8x 負31加23是-8 所以這樣就因式分解完成 同學有發現這個8也是共同的因數 所以你可以把它提到最前面 它是13x減7乘上x減1 好再來 這是更大的一串因式分解 那我們還是一樣先觀察 前面這一項是3x加2乘上負x6方加3x5次方 第二串3x加2乘上負2x6次加x5次 第三串x加1乘上3x6次減4x5次 同學會發現有沒有辦法三個一次提出來 好像很困難 所以呢我們可不可以先整理前面兩項 等一下呢整理出來的結果再來跟第三項對照看看 所以我們先提出前面的3x加2 3x加2提出來之後 前面兩項可以合併負x6次方加3x5次方 再加後面這一串的負2x6次加x的五次 後面這裡沒有動 所以我們照抄 好再來 這裡同類項合併之後呢 就變成負3x6次加4倍的x的5次 哇太好了 跟後面這一項是不是負3x6次加4x5次 還有3x6次減4x5次 剛好每一項都差一個負號對不對 所以我們可以提出這個3x6次減4x5次 好或者是把負號也一起提出來 所以我把負號也一起提出來之後呢 第一串就剩下3x加2 第二串因為這裡多提一個負號出去 所以應該要負負得正 這邊就會變成減掉x加1了 同學那這裡呢 我們3x加2減x再減1就會得到2x加1 那因此呢就完成了最後的因式分解 但是這裡還有一點點的不完美 就是其實3x6次方減4x5次方 是的我們還可以提出x5次 這樣就是最完整的結果 我們來看最後一題 下列哪些是負x5次方乘上3x減4再乘上2x加1 這個數字的因式 是好同學這個如果它是因式的話 一定是可以化為下面這一個 再去乘上另外一個多項式 所以我們試試看像第一個可不可以提出3x平方呢 好的如果提出3x平方之後 本來前面的係數是1 所以我乘上3分之1就可以了對不對 所以負3分之1的x5次拆成2次乘上3次 所以是可以拆出來的 然後面兩項照抄 所以這樣變成3平方乘上後面的這個多項式 所以它是它的因式沒有錯 再來第二個選項 如果提出x3方乘3x減4 可不可以呢 我們把它提出來 提出來之後這個負x5次方提出x3方 剩下負x平方 後面就只剩下2x加1 所以它還是可以乘上另外一個多項式 就變成原來的式子 所以第二個選項也是對的 那第三個選項對嗎 第三個選項這個x5次就沒有辦法提出這麼多次 如果你再從後面提x一次也是不可能 因為後面只有常數項 所以第三個選項是不可能 那最後一個選項呢 如果我們把12x減16提出來 同學應該有注意到 它是3x減4的4倍 所以我們把四分之一放回去 這樣子約分之後 還是會跟原來的3x減4一樣 因此呢12x減16就會乘上後面這個多項式 所以它也是它的因式 所以我們的答案是A B D三個 這個單元呢就是示範了一些提公因式的方法 還有理解一下什麼是因式分解 我們的講解就到這邊