本影片完整講稿各位同學大家好 我是賴政泓老師 那接下來要為同學複習的是 圓的切線 那在這邊呢 我們看到點線與圓的這個學習重點 第一個介紹這個通過圓外一點作圓的切線 再來兩圓的關係 最後兩圓的公切線 那首先我們來看 過圓外一點作圓的切線 這邊會很多性質 首先今天有一個圓O和圓外一點P 那我們過P點做圓的切線 同學都知道 會有兩條 那此時PA線段或者是PB線段 它我們就稱之為是切線的長度 好那接下來呢 我們今天把圓心跟切點連起來 然後我們就會知道呢 這個OA線段就會垂直切線 那OB線段也會垂直另外一條切線 那接下來呢 我們把圓心跟P點把它連起來 這個時候 其實我們同學如果有印象 我們可以去證明上下兩個三角形它會是全等的 它會是全等三角形 於是那我們就可以看到很多的性質喔 比如說 PA線段長就會等於PB線段長 也就是切線的長度會相等 那又比如說 這個OP線段就會把角AOB平分 那當然OP線段也會把角APB給平分 最後我們把AB線段連起來 那這時候AB線段這條線呢 它就會被OP線段垂直而且平分 以上就是過圓外一點作切線 所引出來的一些性質 好接下來我們看到這個題目 它說直線L1為圓O1跟O2的內公切線 紅色這條線 且P為直線L上的點 過P做圓O1跟O2的切線 也就是這邊的PQ跟PR 它說切點分別為Q跟R 那已知五邊形PQO1O2R的面積是72 求PQ線段的長度 首先我們來看到這一題 我們今天把PO1跟PO2把它連起來 那首先呢 我們會知道這個A其實是兩個圓的切點 那這個時候呢 這個內公切線 這個L垂直連心線段 也就是O1O2線段 當然啊這個O1Q半徑也會垂直PQ這一條切線 O2R也會垂直這條切線 所以我們得到三個垂直的關係 接下來假設PQ跟PA PR 我們都假設它們是 x 原因是因為剛剛我們複習到的 對於圓O1來講 P是圓外一點作切線PQ PA 那切線段長會一樣 對圓O2來講 圓外一點P作PA跟這個PR兩條切線 切線段長又會一樣 所以呢我們就假設這三段的長度都叫做x 那此時五邊形的面積是72 那我們就把五邊形分成3個部分 第一個部分是三角形PQO1跟三角形PO1O2 最後跟一個三角形PRO2 把它分成這3個三角形的面積和 而這個面積 我們來看到由題目這個長度 我們可以知道三角形PQO1就會是二分之底 假設是x嘛 PQ那高就是6 2分之6乘x 加上PO1O2的這個三角形的底是9 那高也是x 就是PA線段長 2分之9x再加上這個三角形PRO2 PRO2我們的底是3 那它的高也會是x 也就是2分之3x 那加起來會等於72 於是可以得到x就是8 那也就是題目要我們求的 PQ線段長 接下來我們看到這個105年的國中教育會考考題 它說如圖 這個菱形ABCD的邊長是10 那圓O分別與AB線段跟AD線段切於E、F兩點 而且BG線段相切於G點 再來 若AO線段等於5 且圓O的半徑為3 那麼題目問BG的長度為何 首先我們看到這個菱形的邊長是10 這個AO線段的這個長度是5 好那接下來呢 我們從O點跟切點E連起來 它會垂直切線AB 接下來圓的半徑是3 於是我們由畢式定理我們可以求到 AE線段的長度就是4 那因為是菱形的關係 所以AB的長度也會是10 於是呢BE的長度就剩下6 那接下來題目跟我們說 BG是一條圓的切線 所以呢BG線段長會等於BE線段長 所以最後你就可以得到 這個BG線段長度就是BE線段長度 也就是6 那這一題我們就解決了 接下來的老師要為各位同學介紹的是 兩圓的關係與公切線 那首先來我們來看到這個螢幕上有兩個圓 那我們在這邊呢 大圓我們都是O1 小圓都是O2 大圓的半徑就是R1 那小圓的半徑就是R2 那當然R1會大於R2 這邊先說明一下 那首先我們來看到 今天兩個圓如果是外離的情況 那它所要滿足的條件就是 連心線的長度要大於半徑的和 就是螢幕上所呈現的 那如果今天兩個圓是外離呢 我們就知道它會有兩條外公切線 當然它也會有兩條內公切線 好這個是公切線的部分 接下來我們看到這個螢幕上所呈現的兩個圓是外切的情況 那外切了要符合的這個條件 就是連心線的長度要等於半徑和 接下來我們看到一下公切線 當兩圓外切的時候呢 外公切線依舊是兩條 但是誠如各位所見 它的內公切線就只剩下一條 它會經過兩圓相切的點 當然它會垂直連心線段 接下來這個兩個圓的關係是 交於兩點 相交於2點的這個條件就是說連心線的長度小於等於半徑的和 但是它要大於等於半徑的差 那這邊半徑的差 我們用大圓的半徑減掉小圓的半徑 那接下來呢 這個相交的兩個圓 我們知道它會有兩條外公切線 這個時候呢 它不會有內公切線 這個同學要注意一下 再來這個螢幕上所呈現的這個兩個圓 大圓小圓它是屬於內切的情況 那內切的情況 它滿足的條件就是連心線的長度要等於半徑的差 當然用大的R1減掉小的半徑R2 要滿足的條件 那接下來我們看到當2圓是內切的時候 它的公切線只有一條 而且這一條是外公切線 也是沒有內公切線的圓是內離的狀態的時候呢 它所要符合條件就是連心線的長度要小於半徑的差 但是大於等於0 那我們看到這個時候兩圓內離就沒有任何的公切線了 最後 這個特例就是同心圓 那所謂同心圓就是圓心相同的圓 那就是連心線的長度是0 這個我們稱之為同心圓 當然它也不會有這個公切線的存在 接下來我們看100年的基測試題 它說如果有兩個圓相交於2點 那圓心的距離是13公分 下列哪一個選項中的長度可能是這兩個圓的半徑 那首先的我們要看到的是 因為兩個圓 題目講它是講交於2點 所以我們要去判別 這個條件是什麼呢 由剛剛我們可以知道 我如果假設大圓的半徑是R1 小圓的半徑是R2的話 那2圓相交於2點 它要符合的條件就是連心線的長度要大於半徑的差 R1減R2要小於半徑的和 R1加R2 那由這個條件 我們可以看到這個題目跟我們說 因為連心線的長度是13 所以呢我們可以知道R1減R2 就會小於連心線的長度13 就會小於R1加R2 就可以得到下面這個式子 於是呢我們就從這個ABCD四個選項 來看看哪一組選項的這個半徑的長度可以符合下面這個式子 最後答案就是B 20公分、30公分 我們把它帶進去 它會符合這個式子 所以答案是B 那以上呢就是圓的切線的部分 那老師的複習希望對各位同學有所幫助 謝謝各位