本影片完整講稿同學大家好 我是賴政泓老師 那現在要為各位同學複習的是 三角形的邊角關係一 那在這邊重點有我們有等腰三角形的性質 跟構成三角形三邊的條件 首先我們來看到等腰三角形的性質 那在這邊 等腰三角形會是在這個幾何題目裡面常常出現的 那在這邊的性質希望各位同學能夠熟記 那第一個 兩腰相等兩底角也會一樣大 那這是第一個性質 第二個兩腰上的高會等長 就有如這個圖形上所示 這兩個兩腰上的高 綠色的高會一樣長 再來 我們看到的是底邊的中垂線 為頂角的角平分線 也會是對稱軸 那其實它談的就是 底邊上的高它會平分頂角 那它也會把底邊垂直也平分 好這個是很重要的性質 再來 我們看下面這個題目 它說等腰三角形ABC中 AB等於AC等於15 BC等於24 P是BC線段上的一個動點 它會動在BC線段上面動 而且它說PD是垂直AB線段 那PE垂直AC線段 維持兩個垂直 兩條垂直的線段 它說第一小題 PD加PE的長度是多少 第二小題 PD加PE再加上AP的最小值是多少 那同學可能會覺得這一題很奇怪 P點會動 那會動 那PD的長度跟PE的長度不就也會跟著變化嗎 那第一小題它的和怎麼算 首先我們來看 這個我們要怎麼去處理呢 首先我們來看 我們把AP線段把它連起來 那接下來我們看三角形ABC分成左右兩個三角形 也就是三角形ABP跟三角形ACP的面積和 我們現在要由面積來看這一題怎麼算啊 三角形ABC的面積怎麼算 各位同學這個題目跟我們講 三角形ABC是等腰三角形 那今天等腰三角形三邊長如果給同學的話 要會算它的面積怎麼算呢 那我們就從頂角頂點A做BC線段的這個底邊的高 這個時候呢因為等腰三角形它是對稱 我們就知道CF線段長就是一半 24的一半就是12 於是這個三角形AFC 那它是一個直角三角形 由畢氏定理我們就可以求這個高就是9 就是由畢氏定理就可以算 那這個等腰三角形的底邊上的高 求出來那這個三角形的面積就會了 所以我們就套進去 二分之一底24乘以高9 那它會等於什麼呢 它會等於剛剛分出來的兩個三角形面積和 那首先我們看到左邊三角形ABP的面積 以AB為底15 那高就會是PD除以2 加上右邊三角形ACP 那我今天以AC為底 那高就會是PE 所以15乘以PE除以2 這個時候我們把式子整理一下 兩邊同乘以2 然後呢再把這個15提出來 最後就會得到PD線段長加PE線段長就是5分之72 它是一個定值 它不會變 即便的P點它在變動的時候PD跟PE線段長會變 可是我們發現這兩段的和它是一個定值 既然這樣子的話 不管P怎麼跑 那P這兩段的和PC跟PE都是的和都是定值的時候 第二小題它要求PD加PE再加AP的最小值 今天我們看到這個因為PD線段加PE線段 它是定值5分之72 所以我們當AP線段的長度是最小的時候 那這三個線段長的和就會是最小 那什麼時候AP線段長為最小呢 這就是我們要判別P點的位置所在 那我們就會知道了 這個A點得到BC線段呢 最短的距離就是畫高 這個時候AP線段就會是最短 這個高呢其實剛剛我們算過了 它的長度就是9 於是這一題的答案呢 三個線段長的和的最小值就會是5分之72 也就是PD加PE的和加上AP最小的時候9 最後就是5分之117 這一題可能比較難一點 希望各位同學可以再多多看一下 接下我們看100年的基測試題 它說如圖如果三角形ABC中以B為圓心 BC長為半徑畫弧 分別交AC線段、AB線段於DE兩點 連結BD線段、BE線段 那它現在說如果角A是30度 AB線段又等於AC線段 角BDE的度數是多少 那首先我們來看角A是30度 再來我們看一下 因為題目講AB線段等於AC線段 它是一個等腰三角形 所以底角角C就會是這個等於角ABC媽 底角會相同 我們看大的這個等腰三角形 那它就會180度減掉頂角30度除以2 所以角C跟角ABC都是75度 那接下來題目說以圓心BC為半徑畫弧 於是我們就會得到BC線段、BD線段跟BE線段都是半徑 都等長 於是其實我們就會得到三角形BCD是等腰三角形 等腰三角形底角相同 所以我們就可以知道角BDC也是75度 接下來因為這樣子的結果 我們就可以知道三角形BCD的頂角 角DBC就是30度 於是由剛剛我們知道角ABC也是75度 所以呢一減的結果 我們就可以知道角ABD是45度 最後 我們看到這個三角形BED也是一個等腰三角形 所以題目要我們求的角BDE 就會是180度減掉這個頂角45度再除以2 也就是67.5度 再來我們看97年的基測試題 它說三角形ABC中DE兩點分別在AC、BC線段上 AB線段等於AC線段 CD線段等於DE線段 那如果角A等於40度 角ABD比角DBC等於3比4 要求角BDE 那這個第一題目很長 同學我們要把一個條件一個條件把它理出來 首先題目講AB等於AC 那我們可以知道 又是DE等於CD 所以我們來看一下角A40度 由角ABD比角DBC是3比4呢 看到比要算角度就可以假設 假設角ABD是3x 角DBE就是4x 那我們就把它寫在圖形上 所以我們的角C就會是等於角ABC 就是7x 因為它是等腰三角形 接下來我們來看一下 這個三角形ABC的內角和是180度 於是呢就是40度加上兩個7x就等於180度 那我們就可以解出x就是10度 那這個時候呢我們再來看啊 題目跟我們講 DE線段等於BC線段 那我們又看到一個等腰三角形DEC 所以底角會相同 所以角DEC意思就是7x 再來我們看到這個紫色三角形BED 看到什麼東西呢 外角定理 所以呢我們會發現這個7x就會等於4x加上角BDE 這個是由紫色三角形的外角定理所得到的 那我們就可以得到角BDE就是3x 那最後呢因為我們剛剛的x是10度 所以要求的角BDE就會是30度 所以這個題目很複雜 我們要把一個一個條件把理出來 然後呢在這裡 我們還是應用到的三角形的外角定理 所以外角定理其實是很常用到的 希望同學可能要注意一下 我們看94年的基測試題 它是這樣說的 三角形ABC裡面角ACB是102度 AF等於AC BE等於BC 求角ECF 也就是中間比較小的角 那首先我們來看到這個題目的條件 它說AF線段長等於AC線段長 於是我們如果現在假設角AFC是x的話 那麼我們的角ACF也會是x 接下來呢它又講 BE線段長等於BC線段長 那沒辦法我們只好再假設什麼 角BEC是y的話 那另外一個角BCE也會是y 那現在兩個未知數怎麼辦 所以我們要找關係啦 老師這邊找的關係先看到三角形EFC 中間這個三角形 我們會發現x加y就會等於180度減掉頂角角ECF 然後再來角ACB等於什麼呢 等於x再加y但是不要忘了中間的這個角ECF是重複了 所以要扣回來一次 所以再減掉角ECF 於是角ACB題目跟我們講是102度 就會等於x加y減掉角ECF 最後呢由剛剛的 我們知道x加y等於180度減掉角ECF把它代進來 我們就會得到102度等於180度減掉角ECF再減掉角ECF 於是最後我們就可以得到答案角ECF就是39度 那這一題的是稍微複雜一點 但是呢它還是應用了這個等腰三角形底角相同的這個性質 去運作 希望同學可以再思考一下 接下來要跟各位同學介紹的是 構成這個三角形的三邊的條件 那我們知道三角形中呢 任意兩邊的和一定要大於第三邊 這樣才可以構成三角形 換言之任意兩邊的差一定要小於第三邊 也是一種構成三角形的條件 不過通常我們都是以第一種條件來看就可以了 再來呢如果第一種條件 任意兩邊之和必須大於第三邊 其實我們可以把它簡化一點 就是說三個線段中如果較短的兩線段之和大於最長的線段 那就可以判斷這三個線段可以構成一個三角形 比如說這個問題 它說三角形的三邊長分別是x跟6還有10 那x的範圍是多少才可以構成三角形 那我們就利用任意兩邊之和必大於第三邊 於是x加6要大於10 那x加10也要大於6 那6加10也要大於x 這三個條件都要滿足 於是呢我們就可以得到x要大於4 而且x中間的黃色部分要大於負4 那下面綠色部分就是x要小於16 這三個條件都要符合我們就畫數線啊 第一個x大於4 再來x要大於負4 最後x要小於16 所以呢三個都符合的就是中間這一段 那我們就得到x的範圍就是大於4小於16 在這個範圍才有可能構成三角形 以上是老師為各位同學複習的三角形的邊角關係 好希望對各位同學有幫助 謝謝各位