本影片完整講稿大家好 我是賴政泓老師 現在就由我來幫各位同學複習國中教育會考數學科幾何的部分 首先我們看到了我們課程大綱 好我把它幾何大概分成第一個簡單的解析幾何 三角形的基本性質 平行邊形的基本性質 圓形 相似形 幾何證明與三角形的心 還有生活中的立體圖形 好所以我們來看到簡單的解析幾何 那我們看到課程大綱 第一個會幫各位介紹直角坐標系 再來畢式定理兩點間的距離 幾何圖形一二與尺規作圖 首先我們看到直角坐標系 在直角坐標系的單元裡 我們複習的重點是直角坐標系與象限 點到坐標軸的距離 點的平移 好首先我們看到 在平面上的我們有一個坐標系 那就分別是有x軸跟y軸所共同組成的 那我們知道兩個軸所交點就是我們的原點 好今天假設平面上有一個點的坐標叫做(a,b) 那我們就知道 其實呢它的a坐標就是對應的x坐標 那B呢就是對應的y坐標 好這個如果今天我們知道說有一點Q它是在x軸上 那我們就知道 x軸上的點 它的y坐標都是0 所以我們可以假設Q點的坐標是(x,0) 那當然啦 如果有一個點我們知道 比如說R點 它是在y軸上那我們知道 y軸上的點它的x坐標都是0 所以呢我們就可以假設R點坐標 是(0,y) 好接下來我們看到點到坐標軸的距離 那假設呢 現在坐標平面上有一點P 它的坐標是(a,b) 讓我們看到這個P點到x軸的垂直距離 就會是y坐標加絕對值 也就是絕對值b P點到y軸的距離的就會是x坐標加絕對值 也就是絕對值a 我們看一下這個題目 它說坐標平面上有一個點 坐標是(-6,3) 問它與y軸的距離是多少 首先由剛剛我們看到的內容我們知道 點(-6,3)與y軸的距離就會是x坐標的絕對值 也就是6 但是其實我們可以搭配這個幾何上 我們利用畫出來的方式來解這個題目 所以呢我們看一下坐標是(-6,3) x坐標是負6 就表示這個點先從原點出發的話 它先往左邊移動6個單位 再繼續呢往上移動三個單位 會來到(-6,3)這一點的位置 所以呢我們就可以清楚的看到 這個點跟y軸的距離就會是6 再來呢位各位介紹的是 象限 那我們知道x軸跟y軸這個把平面的分成其實是6個部分 第一個部分就是剛剛講過的x軸上的點 它的y坐標都會是0 那第二個部分就是y軸上的點 它的x坐標都會是等於0 再來誠如各位看到的 它把平面分成四個象限分別是第一二三四個象限 而在這四個象限上的點坐標 我們知道在第一象限上的點坐標XY坐標都會大於0 所以我們記錄成正正 那在第二象限呢 我們就記錄成負正 因為它的x坐標是小於0 y坐標是大於0 那第三象限上的點 x y坐標都小於0 所以我們記錄成負負 那第四象限上的點 它的x坐標大於0 y坐標小於0 我們記錄成正負 有了這個象限定義之後呢 我們來看一下這個題目 102年基測試題 它說坐標平面上有一點A 且A點到x軸的距離是3 A點到y軸的距離的3倍洽為到x軸距離的三倍 若A點在第二象限 則A點的坐標為何 首先我們看到A點今天是在第二象限 所以呢我們如果畫圖的時候呢 我們盡可能的把這個第二象限的位置啊把它放大一點 那我們今天說呢 A點到x軸的距離是3 那我們畫出來的圖就是A到x軸的垂直距離是3 接下來條件A點到y軸的距離洽為到x軸距離的3倍 所以A點到y軸的距離就是螢幕上所呈現黃色這一段 那3倍的話就是9 於是呢透過這個圖形 我們就可以看到A點的x坐標就會是負9 y坐標就是3 就結束了這一題 那這個只是在複習我們坐標平面上點坐標 它的位置它有坐標的關係 好接下來我們看到這一題 如果點(a,b)在第四象限 那麼點(ab, a-b)在第幾象限 那這一題呢 我們當然是要判斷a乘b跟a減b的正負 首先點(a,b)在第四象限 代表x坐標會大於0 也就是a大於0 那y坐標會小於0 所以我們就可以知道a乘b一個正一個負就會小於0 而y坐標a減b 我們把它寫成a加上括號負b 那a是大於0的 那b是小於0的 那加一個負號就變大於0 所以兩個正數相加就變成大於0 於是那我們就知道這個點它的x坐標就是小於0 y坐標就是大於0 它會在第二象限 這個是利用象限上的點 x坐標的正負符號來解決這個問題 接下來我們要看103年特色招考的試題 它說下圖的坐標平面上有P、Q兩點 其坐標分別為(5,a)(b,7) 根據圖中P、Q兩點位置 判斷點(6-b, a-10)落在第幾象限 那首先我們還是要判斷這個6減a跟a減10的正負號 是在7點的左方所以呢q10s坐標兵就會小於幾點的坐標所以必會小於5那麼我們就可以知道6點首先我們看到Q點是在P點的左方 所以Q點的x坐標b就會小於P點的x坐標5 所以b會小於5 那麼由b會小於5我們會知道6減b大於0 再來我們又知道 P點它的位置是在Q點的下方 所以P點的y坐標它就會小於Q點的y坐標7 所以我們就得到會a會小於7 那麼a減10呢 就會小於0 於是判斷出來了 我們就知道點(6-b,a-10)它的正負號x坐標是正的 y坐標是負的 所以它會落在第四象限 接下來幫各位複習的是 點的平移 首先坐標平面上有一個點 它坐標是(a,b) 那我們看一下 如果它今天向右平移k個單位 我們知道移動後點坐標就是x坐標加k y坐標不變 那如果是向左平移k個單位 就變成x坐標要減k 那y坐標不變 誠如螢幕上所示啊 如果它是向上平移k個單位呢 就會變成y坐標要加k 那x坐標保持不變 那向下移一個單位呢 就是y坐標減k x坐標保持不變 這就是就是點的平移的坐標的變化 那我們來看一下這個問題 它說坐標平面上有一個點P 向右移三個單位 再向下移5個單位 會停在Q點 坐標是(-1,3) 那它說那點P的坐標是什麼 那我們來看一下這個題目 跟我們講 P點現在向右移3個單位 好比如說 我們到達的R點 那再繼續向下移5個單位 到達了Q點 好那我們要求得P點原本的坐標 那我們來看一下如果回推的話 就是說Q點呢 要向上移5個單位 就會回到R點 那我們就知道啊向上移剛剛講過 就是Q點的y坐標要加5 x坐標保持不變 所以R點的坐標就是(-1,8) 再來 R點就要向左移三個單位才會回到P 而R點向左移三個單位就是x坐標要減3 y坐標8保持不變 所以就會得到P點的坐標就是(-4,8) 這個是屬於一個應用 我們再看這個106年國中會考的題目 它說已知坐標平面上有一個長方形ABCD 坐標分別是A(0,0) B(2,0) C(2,1) D(0,1) 那現在固定B點 將此長方形依順時針方向旋轉 如圖所示 旋轉過後的C點的坐標會變成(3,0) 那請問旋轉後的D點的坐標是什麼 這一題首先我們看到由A B兩點的坐標 我們就可以知道 這個長方形AB線段長就是2 當然就也等於CD線段長 那再來由AD的坐標 我們可以知道AD的線段的長度 就會是1 當然也會等於BC線段的長度 確定了這個長方形的長寬之後 我們來看一下題目是這樣 它說已固定B點 然後呢旋轉旋轉到C點 躺在x軸上 那這個時候我們因為知道B點的坐標是(2,0) 而BC線段長是1 所以我們就可以得到C點的坐標就是(3,0) 於是D點的位置就是在C點的正上方 多高的位置呢 剛剛算出來CD的長度是2 於是點的平移的概念 我們知道D點的坐標就是(3,2) 就是C點的y坐標再多2 就解決這個問題 以上就是老師為各位講解的直角坐標系 謝謝大家